Resumão Completo

Área de Superfícies de Revolução

Eu sei que o nome assusta, mas vamos com calma.

Primeiro, uma superfície de revolução é uma superfície gerada quando giramos uma curva em torno de um eixo.

Por exemplo, a esfera é uma superfície de revolução. Se girarmos a função

y =   a 2 - x 2

Que é um semi-círculo de raio a e centrado na origem, em torno do eixo x , teremos a seguinte superfície resultante:

Rodando em torno do eixo x

Se uma função y = f x 0 é derivável num intervalo [ a , b ] , então a área da superfície gerada pela rotação dessa função em torno do eixo x é dada por:

  S = a b 2 π f x 1 + f ´ x 2   d x

Rodando em torno do eixo y

Se uma função x = g ( y ) 0 é derivável num intervalo [ c , d ] , então a área da superfície gerada pela rotação dessa função em torno do eixo y é dada por:

  S = c d 2 π g ( y )   1 + g ´ y 2   d y

Só aplicação de fórmula! Mas vejamos isso aí na prática.

O segmento de reta x = 1 - y ,     0 y 1 é girado em torno do eixo y , gerando o cone da figura abaixo. Vamos calcular a área superficial lateral desse sólido de revolução.

Uma observação importante: as fórmulas servem pra calcular só a área que foi gerada pela rotação. Ou seja, nesse caso é justamente o que ele quer: a área lateral do cone.

Caso ele pedisse a área externa toda do cone, teríamos que acrescentar a área da base, beleza?

Enfim, basta usar a fórmula com g y = 1 - y , e os intervalos de integração c = 0 e d = 1 :

S = 0 1 2 π ( 1 - y )   1 + 1 - y ´ 2   d y

S = 0 1 2 π ( 1 - y )   2   d y

S = 2 π 2   y - y 2 2 0 1 = 2 π

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5

Enunciado

Determine as áreas das superfícies geradas pela rotação da curvas em torno dos eixos indicados.

x = 2 y - 1 ,     5 8 y 1 ,     e i x o   y

Resolução

Enunciado

Determine a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x , do pedaço de astróide x 2 / 3 + y 2 / 3 = 1 , mostrado a seguir

Dica: Gire o pedaço do primeiro quadrante em torno do eixo x e dobre o resultado

Resolução

Enunciado

Eis um desenho esquemático da redoma de 90 pés usada pelo Serviço Meteorológico Nacional dos Estados Unidos para abrigar um radar em Bozeman, Montana.

Se a redoma fosse pintada, qual a área da superfície que receberia tinta (sem contar a base)?

Resolução

Enunciado

Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo indicado

y = 1 x t 2 - 1 d t

Com

1 x 5

Rotacionando em torno do eixo x

Resolução

Enunciado

a) A fórmula da área de superfície foi desenvolvida sob o pressuposto de que a função f , cujo gráfico gerou a superfície, era não negativa no intervalo de integração. Para curvas que cruzam o eixo de revolução, substituímos a equação pela fórmula de valor absoluto

S = 2 π ρ d s = 2 π f x d s

Use essa equação para determina a área de superfície do cone duplo gerado pela rotação, em torno do eixo x , do segmento de reta y = x , - 1 x 2

b) Determine a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x , da curva

y = x 3 9 ,     - 3 x 3

Resolução

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