Resumão Completo

Cálculo de Volume

Método dos Discos

Usamos esse método pra calcular o volume de sólidos obtidos pela rotação de alguma figura em torno de um eixo (os famosos sólidos de revolução).

Rodando em torno do eixo x

Seja uma função f ( x ) contínua em a , b .

Vamos considerar a região limitada pelo gráfico y = f x e pelas retas x = a e x = b .

O volume do sólido de revolução obtido pela rotação dessa região em torno do eixo x é:

V = a b π   f x 2 d x

Isso vem da fórmula da área de um disco com raio f x , reparou?

A = π R 2 = π f x 2

Enfim, vejamos um exemplo.

Vamos calcular o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo x da região limitada pela curva y = x 2 , pelas retas x = 1 e x = 2 .

Basta aplicar a fórmula:

V = 1 2 π x 2 2 d x   = 1 2 π   x 4 d x  

V = π x 5 5 1 2 = 31 5 π

Rodando em torno de uma reta paralela ao eixo x

Nesse caso o raio não é mais f ( x ) porque a distância ao eixo de revolução passa a ser a distância da curva até essa reta.

O volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região R em torno da reta y = L é dado por:

V = a b π R 2 d x = a b π f x - L 2 d x

Essa é a única diferença, o resto é só integrar igual!

Rodando em torno do eixo y

Pra rotações em torno do eixo y a fórmula fica no mesmo formato:

V = a b π   f y 2 d y

Vamos calcular o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo y da região limitada pela curva y = f x = ln x , pelas retas x = 0 e y = 0 e y = 1 .

Repara que temos y = f x , mas na fórmula precisamos de um f y . Então temos que escrever x em função de y :

y = ln x

e y = e ln x

x = e y

Show? Agora sim é só partir pro abraço!

V = 0 1 π e y 2 d y   = 0 1 π   e 2 y d y  

V = π e 2 y 2 0 1

V = π 2 e 2 - 1

Então fica a dica: às vezes você vai ter que reescrever a função antes de aplicar a fórmula. Agora vamos ver uns exercícios!

Método dos Anéis

A ideia desse método é bastante semelhante à ideia do método do disco. A diferença é que o método dos anéis é utilizado para quando giramos uma região limitada por duas curvas em torno de um eixo, ao invés de girarmos uma curva.

O eixo x não é mais a fronteira da região que estou girando. Nesse caso, sempre haverá uma diferença de volumes. Complicou???? Nããão! Vamos lá!

Rotação em torno do eixo x

É um sólido com um buraco no meio. Nesse caso, sempre haverá uma diferença de volumes. O volume será dado pela diferença entre o volume da região maior e o volume da região menor. Basta descobrir os dois raios: o raio externo ( R E ) e o raio interno ( R I ) .

No caso em que estou simplesmente girando em torno do eixo x , o raio externo será a função que está acima, no caso da figura, f ( x ) e o raio interno a função que está abaixo. No caso da figura, g ( x ) .

V = a b π R E 2 - π   R I 2   d x

V = a b π f x 2 - π g x 2 d x

Exemplo: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x da região limitada pelas curvas y = e x   e y = x e pelas retas x = 0 e x = 2 .

V = 0 2 π R E 2 - π   R I 2   d x

V = 0 2 π e x 2 - x 2 d x

V = π 0 2 e 2 x - x 2 d x = π e 4 2 - 8 3 - 1 2   u . v .

Rotação em torno de uma reta paralela ao eixo x

Nesse caso, essa reta y = L   passa a ser o eixo de revolução. Aí os raios externo e interno não são mais f ( x ) e g ( x ) porque a distância ao eixo de revolução passa a ser a distância de cada curva até essa reta y = L . O que temos é o seguinte:

R E = f x - L

R I = g x - L

V = a b π R E 2 - π   R I 2   d x

V = a b π f x - L 2 - g x - L 2 d x

Rotação em torno do eixo y

Nesse caso, a única coisa que muda é que ambas as funções têm que estar definidas em função da variável y . Assim como no caso de volume de um sólido gerado pela rotação de uma região limitada por uma curva e o eixo, a variável independente tem que ser a mesma do eixo em relação em torno do qual faço a rotação.

V = a b A ( y ) d y = a b π f y 2 - π g y 2 d y

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5 6 7 8

Enunciado

Calcule o volume do sólido de revolução obtido a partir da rotação de

y = e x ,       y = 0 ,       x = 0 ,       x = 1

Em torno do eixo x .

Resolução

Enunciado

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo x , pelo método que achar mais conveniente.

R : y = x 4 + 1 s e - 4 x < 0 y = 1 - x 2 s e 0 x < 1 y = 0 s e 1 x 4

Resolução

Enunciado

Seja R a região limitada pelos eixos e pelo arco de parábola y = 4 - x 2 , para x entre 0 e 2 .

Calcule o volume do sólido obtido girando a região R acima em torno da reta y = - 1

Resolução

Enunciado

Seja R a região limitada pela curva y = x 3 e pelas retas y = 8 e x = 0 . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno, do eixo x = - 1

Resolução

Enunciado

Determine o volume do sólido obtido pela revolução em torno do eixo- x , da região limitada pelo gráfico de f x = x 2 e g x = 2 - x 2 no intervalo x   [ - 1,1 ] .

Resolução

Enunciado

Determine o volume do sólido obtido pela rotação, em torno da reta y = 9 , da região

A = { ( x , y ) R 2   : y x 2 , y x - 3 2 , y x + 3 2 }

Resolução

Enunciado

Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de

y = x 2 ,       y = x  

Em torno de x = 2 .

Resolução

Enunciado

Na figura abaixo, seja A o ponto de interseção da curva y = e x 2 e a reta L , e seja B o vértice da parábola 4 y = x - 2 2 . Suponha que a reta L passa pelos pontos A e B .

Calcule o volume gerado pela rotação da região sombreada S em torno do eixo- y .

Resolução

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