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Cascas Cilíndricas

Quando aplicar o método das cascas cilíndricas?

Usamos esse método pra calcular volumes de sólidos de revolução, que nada mais são do que sólidos obtidos pela rotação de uma figura em torno de algum eixo.

Por exemplo, um cone é um sólido de revolução, obtido pela rotação de um triângulo em torno de um eixo:

Não precisamos de integral pra calcular o volume de um cone né?

Agora suponha que queremos calcular o volume do sólido originado pela rotação, em torno do eixo y , do gráfico de uma função f ( x ) ao longo de um intervalo [ a , b ] :

Vamos imaginar uma “casca” que está a uma distância x do eixo y , tem altura f ( x ) e uma espessura beeem pequena d x .

O volume da revolução dessa casca em torno de y é:

d v = 2 π x f ( x ) d x

Entendendo:

2 π x   é   o   p e r í m e t r o   d a   c i r c u n f e r ê n c i a   ( 2 π r ,   l e m b r a ? ) f x d x   ( a l t u r a   v e z e s   e s p e s s u r a )

Logo, podemos integrar de x = a a x = b essa expressão e obteremos o volume que queremos:

V = a b 2 π x   f ( x ) d x

Só umas observações...

Caso a função tenha sinal negativo no intervalo de integração, deve-se calcular:

V = a b 2 π x ( -   f x ) d x

Outra coisa: também podemos aplicar o método para curvas que giram em torno de x :

Repare: y é o raio, d y é a espessura da casca e f ( y ) é a largura da casca.

V = 0 3 2 π y   f ( y ) d y

Agora vamos para os exercícios praticar!

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5

Enunciado

Considere a região delimitada pelo gráfico da função f x = x 2 + 1 e pelo eixo x , com x 1 ,   2 .

Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação dessa região em torno do eixo y .

Resolução

Enunciado

Encontre o volume obtido pela rotação da placa limitada por y = 0 , y = f x , x = 0 e x = π 2 - 1 , em torno do eixo y , sendo f x = cos ( x 2 + 1 ) .

Resolução

Enunciado

Considere a região R delimitada pela parábola y = x 2 + 2 x - 4 e pela reta y = - 1 .

  ( b ) Considere S o sólido obtido pela rotação da região R ao redor da reta x = 2 . Escreva uma integral que calcule o volume de S .

( c ) Calcule o Volume de S .

Resolução

Enunciado

Seja D a região situada entre as curvas y = 1 12 , x = 1 , x = 3 e y = 1 x + x 3 . Calcule o volume do sólido S obtido fazendo girar a região D em torno do eixo y .

Resolução

Enunciado

Seja R a região compreendida entre os gráficos de f x = 18 9 + x 2 e g x = x 3 para x   ϵ   [ 0,3 ] , como mostra a figura abaixo:

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno de O y .

Resolução

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