Resumão Completo

Comprimento de Arco

Bom, já sabemos que para calcular o comprimento de arco de uma curva definida por f x entre um ponto a e um ponto b , basta usar a fórmula

c = a b 1 + f ' x 2 d x

Ou

c = c d 1 + f ' y 2 d y

E o que acontece quando temos uma função f ( x ) definida como f x = a x g t d t , onde a é uma constante qualquer?

c = a b 1 + f ' x 2 d x

Como fazemos para calcular f ' ( x ) ? Isso mesmo! Utilizamos o nosso querido e amado Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1!

f ' x = g ( x )  

c = a b 1 + g ( x ) 2 d x

Lembre-se que, se ao invés de f x = a x g t d t , tivermos f x = a u ( x ) g t d t , temos que usar a regra da cadeia para calcular f ' ( x ) :

f ' x = g u x . u ' ( x )

Exemplo:Encontre o comprimento de arco da curva abaixo:

f x = a x t g 2 t + 2 t g   t   d t ,           0 x π 3

c =   0 π 3 1 + f ' x 2   d x

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1:

f ' x = t g 2 x + 2 t g   x

c =   0 π 3 1 + t g 2 x + 2 t g   x 2   d x

c =   0 π 3 t g x + 1 2   d x

c =   0 π 3 ( t g   x + 1 )   d x

c = ln | sec x | +   x π 3 0

c = ln 2 + π 3 - ( ln 1 + 0 )   π 3 0

c = ln 2 + π 3     u . c .

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2

Enunciado

O comprimento L da curva que é gráfico de y = f ( x ) , a x b , é dado pela fórmula

L = a b 1 + f ' x 2 d x

Calcule L se

f x = 1 x t 3 - 1 d t ,       p a r a   1 x 4

Resolução

Enunciado

Calcule o comprimento da curva definida pelo gráfico de f x = 1 x - 1 + t 2 + t 3 d t com x entre 1 e 3 . Dica: não tente resolver a integral que defini f x , ela é muito difícil.

Resolução

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