Resumão Completo

Derivadas Laterais

Assim como temos limites laterais, as funções também possuem derivadas laterais. No exemplo abaixo, observe:

Essa função é dada por:

f x = x 2 ,     x < 0 sen x ,     x 0

Como derivamos f em x = 0 ? Precisamos de uma análise lateral dessa derivada, que pode ser feita de duas formas!

1 Continuidade + Derivação de funções:

Uma vez que você saiba que a função é contínua no ponto estudado, (tem que mostrar isso na questão, hein?!) você pode derivar os termos dos dois lados e ver se batem no mesmo valor.

Assim, calculamos as derivadas laterais derivando as funções de cada um dos lados.

Começando para esquerda de 0 :

f ' x - = x 2 ' = 2 x f ' 0 - = 2 0 = 0

Agora fazemos pela direita de 0 :

f ' x + = sen x ' = cos x f ' 0 + = cos 0 = 1

2 Definição da derivada no ponto:

Aplicamos a definição da derivada no ponto, por limite, e calculamos lateralmente os limites. Por exemplo, pela esquerda temos:

lim x 0 - f x - f 0 x - 0 = lim x 0 - x 2 - 0 x - 0 = 0

Pela direita, temos:

lim x 0 + f x - f 0 x - 0 = lim x 0 + sen x - 0 x - 0 = 1

Repara que a derivada lateral é a derivada analisada por cada lado em que aproximamos de um ponto.

Como calcular a derivada usando limite pode não ser tão simples, sempre opte pelo primeiro método, a não ser que a questão peça pela definição.

Agora vamos praticar!

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Exercícios Passo a Passo

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Enunciado

Calcule as derivadas laterais de f ( x ) no ponto x = 0 .

f x = - x 2           x 0 x 2             x > 0

Resolução

Enunciado

Sendo f ( x ) a função

f x = x   s e n ( x )           x π cos x + 1         x > π

Calcule as derivadas laterais de f ( x ) no ponto x = π .

Resolução

Enunciado

Sendo h ( x ) a função

h x = x 2 ,     x < 2 a x + b ,   x 2

Determine a , b para que as derivadas laterais de h x sejam iguais

Resolução

Enunciado

Sendo f ( x ) a função

f x = 3 x 3 + e x ,     x 0 tanh x + 1 ,                                             x > 0

Calcule as derivadas laterais de f ( x ) no ponto x = 0 .

Resolução

Enunciado

Sendo f x = ln x , calcule as derivadas laterais de f ( x ) no ponto x = 1 .

Resolução

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