Resumão Completo

Diferenciabilidade

Vamos começar definindo essa palavra: diferenciabilidade.

Para um ponto qualquer, dizemos que a função é diferenciável nesse ponto quando ela puder ser derivada nesse ponto.

Um fato interessante sobre esse assunto é que funções que não são contínuas em um certo ponto, automaticamente, não são diferenciáveis nesse ponto. Agora, se a função for contínua, ela pode ou não ser diferenciável, precisamos usar outro critério para avaliar.

O outro critério será que ela precisa ter suas derivadas laterais iguais e diferente de ± . Ou seja, num ponto x = a a função é diferenciável se:

f ' a - = f ' a + ±

Aí, para saber se a função é diferenciável num ponto qualquer, é só calcular as derivadas laterais nesse ponto.

Sempre que você tiver uma função que é subtração, multiplicação e composição de funções deriváveis, nem precisa se preocupar, a função também será derivável.

Além disso, é bom observar a continuidade antes de tudo, independentemente do método que você escolher para fazer, por ser um atalho para provar que não é diferenciável.

É isso, agora é fazer exercício para bater bem!

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5

Enunciado

Seja

f x = x + 1 ,     s e   x 1 2 x ,                     s e   x < 1

( I ) Calcule, se existir, lim x 1 f x - f 1 x - 1 . Justifique sua resposta.

( I I ) A função f é diferenciável em x = 1 ?

Resolução

Enunciado

No exercício, cada figura mostra o gráfico de uma função em um intervalo fechado D . Em que pontos do domínio a função parece ser

a derivável?

b contínua, mas não derivável?

c nem contínua nem derivável?

Justifique sua resposta.

Resolução

Enunciado

Considere

f x = 1 - 2 sen x ,     x - ,   0 x - 1 2 ,                           x 0 ,   1 x 2 ln x ,                             x 1 ,  

Determine os pontos onde f não é derivável.

Resolução

Enunciado

Considere a função definida por:

f x = x 2 - 3 x + a s e   x < 5 2 s e   x = 5 x 2 - 6 x + 5 x - 5 + b s e   x > 5

a Dê um exemplo de valores para a e b tal que exista lim x 5 f x , porém f não seja contínua em x = 5

b Determine a e b de forma que f seja contínua em x = 5

c Para os valores de a e b obtidos no item b anterior, existe f ' 5 ?

Resolução

Enunciado

Seja f tal que f x x ² , x     R . Mostre que f   é diferenciável em x = 0 .

Resolução

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