Resumão Completo

Como sair de indeterminações?

Veja que:

lim x 2 x 3 - 8 x 2 - 5 x + 6 = 2 3 - 8 2 2 - 5 2 + 6 = 0 0

Como obtemos uma indeterminação 0 / 0 , não podemos usar as propriedades. Então como resolver o limite?

Como o 2 zerou o numerador e o denominador, ele é a raíz dos dois polinômios. Para tirar o termo que zera, vamos dividir em cima e embaixo por ( x - 2 ) , ou seja, x - n ú m e r o   q u e   z e r a .

Para isso, é bom conhecer sobre métodos de divisão/fatoração polinomial. Se você já sabe, pode pular essa parte.

Fatoração de polinômios

  • Fatoração de polinômio do 2 º grau por Bhaskara:
  • x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a ,   y = a x 2 + b x + c

    OBS: É bom lembrar que ao abrir um polinômio do segundo grau ( a x 2 + b x + c ) , com x 1 e x 2 sendo raízes, colocamos ele como a x - x 1 x - x 2 . Não esquece desse a aí quando ele for diferente de 1 !

  • Produtos notáveis:
  • x 2 - b 2 = x - b x + b

    x 3 - b 3 = x - b ( x 2 + x b + b 2 )

    x 3 + b 3 = x + b x 2 - x b + b 2

    x 2 ± 2 x b + b 2 = x ± b 2

  • Briot-Ruffini:

Imagine que temos:

lim x 3 2 x 4 - 3 x 3 - 17 x - 30 x - 3 = 2 3 4 - 3 3 3 - 17 3 - 30 x - 3 = 0 / 0  

Para sair dessa indeterminação, dividimos numerador por denominador usando Briot-Ruffini:

Passo 1: Arme o quadro:

Escreva num quadro, como abaixo, os coeficientes do polinômio que se quer dividir alinhados do lado direito superior. A raiz do polinômio que dividimos deve estar do lado esquerdo superior. Já o primeiro coeficiente, do maior grau do polinômio, fica do lado direito inferior, logo abaixo de onde o escreveu em cima:

OBS.: Repare que colocamos um 0 ali ocupando o espaço do grau x 2 . Para qualquer grau entre o grau máximo e o grau 0 que tenha coeficiente nulo no polinômio, você precisa sempre escrever um 0 no lugar do seu coeficiente.

Passo 2: Multiplique e some:

Multiplique a raiz pelo primeiro coeficiente, que você reescreveu embaixo ainda no passo 1, e some-o com o próximo coeficiente (nesse caso, 2 . 3 + - 3 = 3 ). Escreva o resultado embaixo do segundo coeficiente:

Passo 3: Repita:

Passo 4: Junte:

Escreva o resultado com os coeficientes ordenados, sendo o primeiro que aparece na direita inferior aquele que acompanha x elevado a n - 1 e assim por diante até o penúltimo, que será o termo independente de x , uma constante! O último termo é o resto da divisão:

Logo, podemos escrever:

l i m x 3 2 x 4 - 3 x 3 - 17 x - 30 x - 3 = l i m x 3 2 x 3 + 3 x 2 + 9 x + 10 = 2 3 3 + 3 3 2 + 3 3 + 10 = 118

Caso com módulo

Agora que você conhece como fazer a fatoração de termos polinomiais. Como fica se no limite aparecer um módulo?

lim x 3 x 2 - 7 x + 12 x - 3

Substituindo esse valor (pra variar...) teremos uma indeterminação 0 0 . Agora a questão é fatorar esse cara de cima. Usando Bhaskara, a gente chega ao seguinte:

lim x 3 x 2 - 7 x + 12 x - 3 = lim x 3 x - 3 x - 4 x - 3

Ok, mas e esse módulo aí? Por definição, ele é dado assim:

| x - 3 | = - ( x - 3 ) ,     x < 3 ( x - 3 ) ,     x 3

Então vamos dividir a análise lateralmente também! Para valores maiores que 3 será:

lim x 3 + x - 3 x - 4 ( x - 3 ) = lim x 3 + x - 4 = 3 - 4 = - 1

Para os valores menores que 3 , por sua vez:

lim x 3 - x - 3 x - 4 - ( x - 3 ) = lim x 3 + - x - 4 = - 3 - 4 = 1

E, enfim, a gente vê que os limites laterais não batem e portanto o limite:

lim x 3 x 2 - 7 x + 12 x - 3

não existe!

Agora vamos aos exercícios!

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5 6

Enunciado

Resolva o limite:

lim x 5 x 2 - 25 x - 5

Resolução

Enunciado

Calcule o limite abaixo usando as propriedades operatórias:

lim y - 2 y 3 + 8 y + 2

Resolução

Enunciado

Calcule o limite:

lim x - 4 x 2 + 8 x + 16 x + 4

Resolução

Enunciado

Calcule o limite:

lim y - 3 y 2 - 9 2 y 2 + 7 y + 3

Resolução

Enunciado

Calcule o limite:

lim x 1 3 3 x 3 - 25 x 2 + 44 x - 12 - 3 x 2 + 7 x - 2

Resolução

Enunciado

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x 1 x 100 - 2 x + 1 x 50 - 2 x + 1  

Resolução

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