Esboce e calcule o volume do sólido descrito.

a) Uma calota de altura h , de uma esfera de raio r .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para esboçar e calcular o volume de uma calota de altura h em uma esfera de raio r , ou seja:

Podemos calcular o volume da seguinte forma:

V = ∫ a b A y d y

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... dessa forma, pela figura temos que:

a = r - h

E

b = r

Sabemos também que:

x 2 + y 2 = r 2 ∴ x = r 2 - y 2

Assim, temos que:

A y = π r 2 ∴

A y = π r 2 - y 2

Passo 3

Agora, aplicando na integral e resolvendo, temos:

V = ∫ r - h r π r 2 - y 2 d y ∴

V = ∫ r - h r π r 2 - π y 2 d y ∴

V = ∫ r - h r π r 2 d y - ∫ r - h r π y 2 d y ∴

V = π r 2 y r r - h - π 3 h r 2 - 3 h 2 r + h 3 3 r r - h ∴

V = π 3 h 2 r - h 3 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

V = π 3 h 2 r - h 3 3

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .