Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Passo 1

O lance é esboçar o mais precisamente possível os gráficos do cosseno e do seno de 0 a π / 2 pra entender bem a região R :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então R é a união de 2 pedaços de área idêntica, um que vai de 0 a π / 4 e outro que vai de π / 4 a π / 2 .

Daí pra facilitar nossa vida podemos montar uma só integral, que seria pra calcular o volume do sólido obtido pela rotação de um só desses pedaços, e multiplicar o resultado por 2.

Assim, o volume do sólido todo é:

2 ∫ 0 π 4 π cos ⁡ x - - 1 2 - sen ⁡ x - - 1 2 d x

= 2 π ∫ 0 π 4 cos ⁡ x + 1 2 - sen ⁡ x + 1 2 d x

= 2 π ∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ x + 2 cos ⁡ x + 1 - sen 2 ⁡ x - 2 sen ⁡ x - 1 d x

= 2 π ∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ x - sen 2 ⁡ x + 2 cos ⁡ x - 2 sen ⁡ x d x

Passo 3

Agora é só resolver a integral.

Substituindo sen 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x :

cos 2 ⁡ x - sen 2 ⁡ x = 2 cos 2 ⁡ x - 1

Então a integral fica:

2 π ∫ 0 π 4 2 cos 2 ⁡ x - 1 + 2 cos ⁡ x - 2 sen ⁡ x d x

Passo 4

Substituindo 2 cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x :

2 π ∫ 0 π 4 cos ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ x - 2 sen ⁡ x d x

= 2 π sen ⁡ 2 x 2 + 2 sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x 0 π 4

= 2 π 1 2 + 2 . 2 2 + 2 . 2 2 - 0 2 - 2.0 - 2.1

= 2 π 1 2 + 2 + 2 - 2

= 1 + 4 2 - 4 π = 4 2 - 3 π

Resposta

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