Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

Passo 1

O lance é esboçar o mais precisamente possível os gráficos das funções pra entender bem a região R :

Passo 2

Então R é a união de 2 pedaços de área idêntica, um que vai de - 1 a 0 e outro que vai de 0 a 1 .

Daí pra facilitar nossa vida podemos montar uma só integral, que seria pra calcular o volume do sólido obtido pela rotação de um só desses pedaços, e multiplicar o resultado por 2.

Além disso, vamos reescrever aquela função implícita ali em cima da seguinte maneira:

x 2 3 + y 2 3 = 1

y = 1 - x 2 3 3 2

Assim, o volume do sólido todo é:

2 ∫ 0 1 π 1 - x 2 3 3 2 2 d x = 2 ∫ 0 1 π 1 - x 2 3 3 d x

Passo 3

Agora é só resolver a integral.

2 ∫ 0 1 π 1 - x 2 3 3 d x = 2 ∫ 0 1 π 3 x 4 3 - 3 x 2 3 - x 2 + 1 d x

2 ∫ 0 1 π 3 x 4 3 - 3 x 2 3 - x 2 + 1 d x = 2 π 9 7 x 7 3 - 9 5 x 5 3 - 1 3 x 3 + x 0 1 = 32 π 105

Resposta

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( b > a ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a ...