Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Passo 1

O lance é esboçar o mais precisamente possível os gráficos das funções pra entender bem a região R :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então R é a união de 2 pedaços de área idêntica, um que vai de - 1 a 0 e outro que vai de 0 a 1 .

Daí pra facilitar nossa vida podemos montar uma só integral, que seria pra calcular o volume do sólido obtido pela rotação de um só desses pedaços, e multiplicar o resultado por 2.

Além disso, vamos reescrever aquela função implícita ali em cima da seguinte maneira:

x 2 3 + y 2 3 = 1

y = 1 - x 2 3 3 2

Assim, o volume do sólido todo é:

2 ∫ 0 1 π 1 - x 2 3 3 2 2 d x = 2 ∫ 0 1 π 1 - x 2 3 3 d x

Passo 3

Agora é só resolver a integral.

2 ∫ 0 1 π 1 - x 2 3 3 d x = 2 ∫ 0 1 π 3 x 4 3 - 3 x 2 3 - x 2 + 1 d x

2 ∫ 0 1 π 3 x 4 3 - 3 x 2 3 - x 2 + 1 d x = 2 π 9 7 x 7 3 - 9 5 x 5 3 - 1 3 x 3 + x 0 1 = 32 π 105

Resposta

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