Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

Em cada um dos exercícios 11 a 14 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule, por dois métodos distintos, o volume do sólido obtido pela rotação da R em torno do eixo E dado.

12 .   R : y = x 2 ,   y = x ;

            E : e i x o   x

Passo 1

Por cascas cilíndricas, primeiro definimos funções de y : y = x 2 → x = 2 y ; y = x → x = y 2 . Para achar os limites de integração, igualamos:

2 y = y 2 → y 2 - 2 y = 0 → y = 0   o u   y = 2

Então, a nossa integral fica:

∫ 0 2 2 π y ( 2 y - y 2 ) d y

Passo 2

Já por anéis circulares é mais tranquilo: a curva de cima é y = x , e a curva de baixo é y = x 2 . Para achar os limites de integração, basta igualar as funções:

x = x 2 → x 2 - 4 x = 0 → x = 0   o u   x = 4

Então, a nossa integral fica:

∫ 0 4 π x 2 - x 2 2 d x

Passo 3

Para encontrar o volume, basta resolver uma dessas integrais, já que elas representam a mesma quantidade.

∫ 0 2 2 π y ( 2 y - y 2 ) d y = ∫ 0 2 4 π y 2 - 2 π y 3 d y = 4 π y 3 3 - π y 4 2 0 2 = 8 π 3

Resposta

∫ 0 4 π x 2 - x 2 2 d x = ∫ 0 2 2 π y ( 2 y - y 2 ) d y = 8 π 3

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