Em cada um dos exercícios 11 a 14 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule, por dois métodos distintos, o volume do sólido obtido pela rotação da R em torno do eixo E dado.

12 .   R : y = x 2 ,   y = x ;

            E : e i x o   x

Passo 1

Por cascas cilíndricas, primeiro definimos funções de y : y = x 2 → x = 2 y ; y = x → x = y 2 . Para achar os limites de integração, igualamos:

2 y = y 2 → y 2 - 2 y = 0 → y = 0   o u   y = 2

Então, a nossa integral fica:

∫ 0 2 2 π y ( 2 y - y 2 ) d y

Passo 2

Já por anéis circulares é mais tranquilo: a curva de cima é y = x , e a curva de baixo é y = x 2 . Para achar os limites de integração, basta igualar as funções:

x = x 2 → x 2 - 4 x = 0 → x = 0   o u   x = 4

Então, a nossa integral fica:

∫ 0 4 π x 2 - x 2 2 d x

Passo 3

Para encontrar o volume, basta resolver uma dessas integrais, já que elas representam a mesma quantidade.

∫ 0 2 2 π y ( 2 y - y 2 ) d y = ∫ 0 2 4 π y 2 - 2 π y 3 d y = 4 π y 3 3 - π y 4 2 0 2 = 8 π 3

Resposta

∫ 0 4 π x 2 - x 2 2 d x = ∫ 0 2 2 π y ( 2 y - y 2 ) d y = 8 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .