Calcule o volume do sólido cuja base é o semicírculo x 2 + y 2 ≤ r 2 , y ≥ 0 , e cujas secções perpendiculares ao eixo O x são triângulos equiláteros.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Esse problema é um pouco confuso e vamos precisar ter uma boa abstração para entender o que está acontecendo, já que desenhos são difíceis de visualizar.

Primeiro fazemos um esboço no plano x y da base do sólido:

A ideia básica é a seguinte: vamos empilhar várias plaquinhas perpendiculares ao eixo O x . Essas plaquinhas serão triângulos equiláteros de lado L e terão uma espessura infinitesimal d x . O volume de uma dessas plaquinhas é

d V = A   d x = L 2 3 4   d x

Lembre-se que a área de um triângulo equilátero é

A = L 2 3 4

Acontece que L é uma função de x , como mostrado na figura:

L = 1 - x 2

Logo,

L 2 = 1 - x 2

Portanto, o volume da plaquinha é

d V = 1 - x 2 3 4   d x

Passo 2

Para achar o volume do sólido completo, basta somar os volumes infinitesimais de cada plaquinha, o que corresponde a uma integral com x indo de - 1 até 1 :

V = ∫ - 1 1 1 - x 2 3 4   d x

Como o integrando é uma função par, podemos fazer

V = 2 ∫ 0 1 1 - x 2 3 4   d x = 3 2 ∫ 0 1 1 - x 2   d x

Agora é só fazer a integral:

V = 3 2 x - x 3 3 0 1 = 3 2 ⋅ 1 - 1 3

Com isso, achamos o volume do sólido:

V = 3 3

Eu sei que não é muito fácil enxergar o que está acontecendo, mas é sempre muito útil pensar nessa ideia de plaquinhas ou disquinhos empilhados 😉!

Resposta

V = 3 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .