Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos de x 2 = y - 2 e 2 y - x - 2 = 0 e pelas retas verticais x = 0 e x = 1 , girando em torno da reta y = 3 .

Resposta: 51 20 π   u . v

Passo 1

Eaew, tudo certinho com você?

O enunciado nos traz uma região que é delimitada pelo gráfico de duas funções, x 2 = y - 2 , que é uma parábola, e uma reta dada por 2 y - x - 2 = 0 . O enunciado também coloca retas verticais que delimitam nossa região, estas são x = 0 e x = 1 , e precisamos calcular o volume do sólido de revolução quando esta região é revolucionada (rotacionada) ao redor de y = 3 . A primeira coisa é dar uma olhada em nossa região, temos o seguinte

É o pedacinho mais escuro entre as linhas pontilhadas em azul. No topo, temos em roxo a nossa reta horizontal y = 3 . Ao rotacionar em torno da reta horizontal, vamos obter um sólido que tem um buraquinho no meio, onde a parede interna é dada pela parábola e a parede exterior é dada pela reta. O nosso sólido tem a seguinte forma

O segredo é calcular o volume deste sólido como se não houvesse buraco, e, então, remover o volume do buraco! Vamos tentar fazer isso!

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que o volume é completo, temos que ao fatiar esta figura sem buraco, obtemos discos de raio dado pela equação da reta, mas deslocado acima da origem em nosso referencial. Podemos calcular o volume utilizando

V c o m p l e t o = π ∫ 0 1 r 2 d x           ( 1 )

Se a revolução fosse em torno de y = 0 , teríamos que o raio seria dado por 2 y - x - 2 = 0 , ou seja

y = x 2 + 1

Mas, na verdade, temos que a revolução ocorre em y = 3 , portanto, devemos subtrair 3 que está excedente em nosso referencial, de forma que nosso raio é

r = x 2 + 1 - 3 = x 2 - 2           ( 2 )

Vamos aplicar a nossa integral e calcular este volume!

Passo 3

Temos que o volume completo é obtido substituindo a equação (2) na equação (1), temos que

V c o m p l e t o = π ∫ 0 1 x 2 - 2 2 d x

Expandindo o quadrado, temos que x 2 - 2 2 = x 2 4 - 2 x 2 2 + 4 = x 2 4 - 2 x + 4 . Voltando em nossa integral

V c o m p l e t o = π ∫ 0 1 x 2 4 - 2 x + 4 d x           ( 3 )

Vamos ter que separar em três integrais e identificar nossas primitivas, belezinha?

Passo 4

A nossa equação (3) tem a forma

V c o m p l e t o = π 4 ∫ 0 1 x 2 d x - 2 π ∫ 0 1 x d x + 4 π ∫ 0 1 d x

Usando que

∫ a b x n d x = x n + 1 n + 1 ​ a b           ( 4 )

Ou seja, o volume completo é tal que

V c o m p l e t o = π 4 x 3 3 0 1 - 2 π x 2 2 0 1 + 4 π x 0 1 = π 12 x 3 0 1 - π x 2 0 1 + 4 π x 0 1

Avaliando os limites de integração, temos

V c o m p l e t o = π 12 - π + 4 π = π - 12 π + 48 π 12

Ou seja, temos que

V c o m p l e t o = 37 π 12

Ainda precisamos subtrair o volume do buraco! Vamos lá!

Passo 5

Da mesma forma que anteriormente, o volume é calculado como

V i n t e r i o r = π ∫ 0 1 r 2 d x

Mas agora o raio é dado pela equação da parábola y = x 2 + 2 , mas novamente, precisamos considerar que há um excedente em nossa escolha de referencial, ou seja, nosso raio é tal que

r = x 2 + 2 - 3 = x 2 - 1

E o nosso volume toma a forma

V i n t e r i o r = π ∫ 0 1 x 2 - 1 2 d x

Vamos resolver esta equação, belezinha?

Passo 6

Expandindo o quadrado, temos x 2 - 1 2 = x 4 - 2 x 2 + 1 , ou seja

V i n t e r i o r = π ∫ 0 1 x 4 - 2 x 2 + 1 d x

Que pode ser separado em três integrais

V i n t e r i o r = π ∫ 0 1 x 4 d x - 2 π ∫ 0 1 x 2 d x + π ∫ 0 1 d x

Utilizando novamente a equação (4) temos que

V i n t e r i o r = π x 5 5 0 1 - 2 π x 3 3 0 1 + π x 0 1 = π 5 x 5 0 1 - 2 π 3 x 3 0 1 + π x 0 1

E, avaliando os limites, temos

V i n t e r i o r = π 5 - 2 π 3 + π = 3 π - 10 π + 15 π 15

Resumindo, temos que

V i n t e r i o r = 8 π 15  

Estamos quase lá! Agora é só calcular!

Passo 7

Temos então que nosso volume é

V = V e x t e r i o r - V i n t e r i o r = 37 π 12 - 8 π 15

Precisamos fazer o MMC, para calcular esta diferença

V = 555 π - 96 π 180 = 459 π 180

Dividindo em cima em baixo por 9, temos

V = 51 π 20

A questão é isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

V = 51 π 20

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .