Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x   da região delimitada pela curva y = x ² - x + 3 e a reta y = 3 .

Passo 1

A rotação da área da figura em torno de um plano perpendicular ao eixo x nos dá um anel de raio externo R = 3 e raio interno r = x ² - x + 3 , de forma que a área da seção transversal é

A = π R ² - π r ²

A = π 3 ² - π ( x ² - x + 3 ) ²

A = - π ( x 4 - 2 x 3 + 7 x 2 - 6 x )

Passo 2

O sólido será limitado pelo intervalo 0,1 , então o volume é dado pela integral

∫ 0 1 A x d x

∫ 0 1 - π ( x 4 - 2 x 3 + 7 x 2 - 6 x ) d x

- π ∫ 0 1 ( x 4 - 2 x 3 + 7 x 2 - 6 x ) d x

Passo 3

Agora só falta resolver a integral.

V = - π ∫ 0 1 ( x 4 - 2 x 3 + 7 x 2 - 6 x ) d x

= - π x 5 5 - 2 x 4 4 + 7 x ³ 3 - 6 x ² 2 0 1

= - π 1 5 - 1 2 + 7 3 - 3

= 29 π 30 u . v

Resposta

29 π 30 u . v

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