Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Cálculo de Volumes através de Integrais

Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do semicírculo:

R = x , y   ϵ   R 2   x 2 + y 2 ≤ 1 ,     y ≥ 0 }

Em torno da reta y = - 3 .

Passo 1

Seguinte, vamos começar esse negócio desenhando a Região R , que é uma circunferência de raio 1 centrada na origem, porém sem a parte em que y < 0 , ou seja, só um semicírculo. Vou colocar no desenho também o eixo de rotação y = - 3 , que é paralelo ao eixo x :

Eu deixei ali indicadas duas setas, ambas partindo do eixo de rotação. Quando rotacionarmos a região R é como se fizéssemos o volume gerado na rotação do gráfico verde menos aquele gerado pelo tracejado azul, que coloquei em cima do eixo x . Basicamente, para rodar a região em torno de determinado eixo temos que rodar a linha que delimita superiormente a região menos a rotação daquela que delimita inferiormente, sendo que no caso a verde está por cima e a azul por baixo. Os respectivos raios de rotação de cada uma são 3 + y e 3 , onde y pode ser achado sendo isolado na equação do círculo:

x 2 + y 2 = 1 → y = 1 - x 2

Dessa forma, o volume da rotação de R em torno de y = - 3 será dado pelo método das seções transversais, visualizando ainda que os limites de integração para x nessa figura vão de - r a r , ou seja, de - 1 até 1 :

V = ∫ - 1 1 π 3 + 1 - x 2 2 - 3 2 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolvendo a integral:

V = ∫ - 1 1 π 9 + 6 1 - x 2 + 1 - x 2 - 9 d x

= ∫ - 1 1 π 6 1 - x 2 + 1 - x 2 d x

= ∫ - 1 1 6 π 1 - x 2 d x + ∫ - 1 1 π 1 - x 2 d x

A primeira integral pode ser feita por substituição trigonométrica, sendo que esse seria o caso da substituição por um x = a sen ⁡ θ = sen ⁡ θ .

x = sen ⁡ θ → d x = cos ⁡ θ d θ

θ i n f = arcsen ⁡ - 1 = - π 2   ;   θ s u p = arcsen ⁡ 1 = π 2

∫ - 1 1 6 π 1 - x 2 d x = ∫ - π 2 π 2 6 π 1 - sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

= ∫ - π 2 π 2 6 π cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ = ∫ - π 2 π 2 6 π cos ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Nesse intervalo, cos ⁡ θ = cos ⁡ θ . Ficamos com a integral de cos ⁡ θ 2 , porém tem uma relação trigonométrica muito útil para integrar esse cara:

∫ - π 2 π 2 6 π cos ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ - π 2 π 2 6 π cos 2 ⁡ θ d θ

= ∫ - π 2 π 2 6 π 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

= 6 π 2 θ + sen ⁡ 2 θ 4 [ π / 2 - π / 2

= 6 π π + sen ⁡ π 4 - 6 π - π + sen ⁡ - π 4

= 6 π π 4 + 0 - 6 π - π 4 + 0 = 3 π 2

Passo 3

A outra integral sai direto pela integral do polinômio:

∫ - 1 1 π 1 - x 2 d x = π x - x 3 3 [ 1 - 1

= π 1 - 1 3 - π - 1 - - 1 3

= π 2 3 - π - 2 3

= 4 π 3

Assim, somando os resultados das duas integrais, temos:

V = ∫ - 1 1 6 π 1 - x 2 d x + ∫ - 1 1 π 1 - x 2 d x

V = 3 π 2 + 4 π 3   u . v .

Resposta

V = 3 π 2 + 4 π 3   u . v .

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