Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Cálculo de Volumes através de Integrais

Considera a região

R = x , y ∈   R 2 : 0 ≤ x ≤ 3 2 , - 1 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 1 - x 2

a ) Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno da reta y = 2 .

Passo 1

Olha eu sinceramente não faço ideia de como é o gráfico desse 1 1 - x 2 mas eu posso substituir os limites de integração e fazer a seguinte análise:

f x = 1 1 - x 2 → f ' x = x 1 - x 2 3 / 2

Essa derivada, quando olhamos para um intervalo entre - 1 e 1 (que é o caso do intervalo 0 , 3 2 ), é positiva, o que significa que o gráfico cresce. Sabendo que f 0 = 1 e f 3 2 = 2 , sabemos que o gráfico será algo similar a isso aqui embaixo (para achar o gráfico de - 1 1 - x 2 basta fazer a mesma coisa só que espelhado em relação ao eixo x ):

Essa é a R do problema! Girar em torno de y = 2 , como pedido na questão, seria girar em torno da horizontal que passa no 2 dp eixo y , seria esse eixo verde aí. Repara que o 1 1 - x 2 vai gerar um sólido de raio menor que o - 1 1 - x 2 , sendo o primeiro raio igual a 2 - 1 1 - x 2 e o segundo igual a 2 + 1 1 - x 2 , representados pelas setas azuis. Logo, a integral é a diferença da rotação desse segundo raio pela rotação do primeiro raio:

V = ∫ 0 3 / 2 π 2 + 1 1 - x 2 2 d x - ∫ 0 3 / 2 π 2 - 1 1 - x 2 2 d x

Só resolver essa coisa feia aí em cima!

V = ∫ 0 3 2 π 2 + 1 1 - x 2 2 - 2 - 1 1 - x 2 2 d x

= ∫ 0 3 2 π 4 + 4 1 - x 2 + 1 1 - x 2 - 4 - 4 1 - x 2 + 1 1 - x 2 d x

= ∫ 0 3 2 π 8 1 - x 2 d x

Ok, você pode até não lembrar, mas a integral de 1 1 - x 2 é arcsen ⁡ ( x ) . Aí fica mole, saca:

∫ 0 3 2 π 8 1 - x 2 d x = 8 π arcsen ⁡ x [ 3 2 0

= 8 π arcsen ⁡ 3 2 - arcsen ⁡ 0

= 8 π π 3 - 0 = 8 π 2 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

V = 8 π 2 3   u n i d a d e s   d e   v o l .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas