Considere a região R limitada pelas curvas y   =   x ,   y   = 0   e   x   =   c   >   0 .

(b) Para c = 4, encontre b   >   √ c   de modo que o sólido obtido pela rotação de R em torno da reta y   =   b tenha volume igual a 8π.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar, para c = 4, b   >   √ c   de modo que o sólido obtido pela rotação de R em torno da reta y   =   b tenha volume igual a 8π.

Se escolhermos retângulos perpendiculares ao eixo y de espessura dy, podemos utilizar o método das cascas, nesse os retângulos são paralelos ao eixo de rotação, sendo o volume dado por

V = 2 π   ∫ y i y f r   h   d y

sendo:

r = ( b - y ) o raio do cilindro formado;

h = y 2 a altura dos cilindros;

d y a espessura do cilindro;

y i = 0 e y f = c = 4 = 2 .

Então vamos lá resolver essa integral!

Passo 2

Vamos resolver a integral e aplicar os limites de integração:

V = 2 π   ∫ 0 2 ( b - y )   y 2   d y

V = 2 π   ( b y 3 3 - y 4 4 )   | 0 2 = π   ( 16 b 3 - 4 )

Passo 3

Igualando o volume a 8 π :

V = π   ( 16 b 3 - 4 ) = 8 π

  16 b 3 = 12

Isolando c

  b = 36 16 = 9 4 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

  b = 9 4 .

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .