Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Considere a região R limitada pela reta y = x e pela curva y = x 2 no intervalo 0,1 . Esboce a região R e calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x .

Passo 1

Cara, para esboçar essa região R , a gente precisa esboçar as curvas y = x e y = x 2 no mesmo plano, e identificar a região que está entre elas no intervalo 0,1 , beleza? E como a gente faz isso?

Nossas funções são:

y = x

y = x 2

Esperam da gente que saibamos a cara dessas funções (são chamadas de funções simples). A cara de y = x é assim (uma reta que passa pela origem):

E y = x 2 é uma parábola que passa pela origem

Colocando essas duas coisas no mesmo plano, e marcando a região entre elas no intervalo 0 , 1 , achamos essa região aqui:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para achar a o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x vamos usar o método dos anéis, porque temos um intervalo bem definido em x , x também é nosso eixo de rotação e temos funções de x .

Nesse método, a gente precisa montar a fórmulinha:

V = ∫ a b π f m a i o r 2 - π f m e n o r 2 d x

A f m a i o r representa a função que limita a nossa região por cima, e f m e n o r a função que limita a nossa região por baixo.

Olhando ali no nosso desenho, vemos que quem limita nossa região por cima é a y = x e quem limita nossa região por baixo é a função y = x 2 .

Aí a gente tem que para o nosso caso:

f m a i o r = x

f m e n o r = x 2

E na fórmula, [ a , b ] é o intervalo em que nossa região está. Do enunciado temos que nossa região está no intervalo 0 , 1 , então:

a = 0 ,   b = 1

E aí a nossa integral para calcular o volume fica:

V = ∫ 0 1 π x 2 - π x 2 2 d x = ∫ 0 1 π x 2 - π x 4 d x

Repara que a gente simplificou ali nossa função usando uma propriedade de potência.

Passo 3

Agora é calcular essa belezura. Uma propriedade diz que podemos fazer a integral de cada uma das funções e depois fazer a subtração:

V = ∫ 0 1 π x 2 - π x 4 d x = ∫ 0 1 π x 2 d x - ∫ 0 1 π x 4 d x = π ∫ 0 1 x 2 d x - π ∫ 0 1 x 4 d x

Percebe que nessas duas integrais, a gente pode usar a regrinha:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Para a primeira integral temos n = 2 e para a segunda temos n = 4 . Ficamos assim então:

V = π x 2 + 1 2 + 1 0 1 - π x 4 + 1 4 + 1 0 1

V = π x 3 3 0 1 - π x 5 5 0 1 = π 1 3 - 1 5 = 2 15 π

Resposta

a)

b) V = 2 15 π  

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