Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Considere a região plana R definida por:

R = x , y   ∈ I R 2 x - 1 2 ≤ y ≤ 1 - x 2  

Seja S o sólido de revolução obtido pela rotação de R em torno do eixo x .

  1. Esboce a região plana R
  2. Utilizando o método que preferir, escreva o volume de S como uma integral
  3. Calcule o volume de S

Passo 1

A questão é sobre sólidos de revolução, mas antes de sabermos como será esse sólido, temos que saber a cara da região que vamos rotacionar pra gera-lo, beleza? Dá uma olhada nessa função:

Essa é a cara de um polinômio de segundo grau. É como se fosse um copo. Os diferentes polinômios de segundo grau vão ser copos também, cada um um pouco diferente do outro. Beleza, mas e daí? Bem, vamos ver de novo a região R :

R = x , y   ∈ I R 2 x - 1 2 ≤ y ≤ 1 - x 2  

Abrindo o termo x - 1 2 :

R = x , y   ∈ I R 2 x 2 - 2 x + 1 ≤ y ≤ 1 - x 2  

Opa, y está entre dois polinômios de segundo grau! Então vamos achar a cara desses copos! A começar por:

x 2 - 2 x + 1

Veja bem, esse “copo” também tem sinal positivo multiplicando o termo x 2 , então ele vai ser também um copo pra cima! Mas o que os temos - 2 x + 1 fazem? Vamos ver primeiro se o ponto de mínimo vai se deslocar. Derivando e igualando à 0 , temos:

d d x x 2 - 2 x + 1 = 2 x - 2 = 0

2 x = 2

x = 1

E quando x = 1 , temos:

1 2 - 2.1 + 1 = 0

Beleza, então a curva x 2 - 2 x + 1 é um copo de boca pra cima com ponto de mínimo 1,0 . Bora ver a outra curva:

1 - x 2

Essa é mais tranquila de entender. Como temos um - 1 multiplicando x 2 , trata-se de um copo com a boca pra baixo. E como temos um termo + 1 , basta a gente pegar x 2 , espelhar em relação ao eixo x e subir uma unidade com ele. Juntando as duas curvas, temos:

E veja só! Como y está entre essas duas curvas, nossa região R vai ser ninguém menos do que:

E pra fechar esse passo, vamos só ver antes em que pontos que essas curvas se encontram. Pra calcular o volume depois vai ser interessante. Como as curvas são:

x 2 - 2 x + 1

1 - x 2

Se igualarmos as duas:

x 2 - 2 x + 1 = 1 - x 2

2 x 2 - 2 x = 0

2 x x - 1 = 0

As possíveis soluções vão ser:

2 x = 0         ;         x - 1 = 0

O que resulta em:

x = 0           ;           x = 1

Substituindo esses valores de x na expressão de qualquer uma das duas curvas, achamos os pontos de interseção das curvas:

1 - 1 2 = 0

1 - 0 2 = 0

Os pontos vão ser:

0,1           ;           1,0

Ok, o gráfico do Geogebra mei oque deu um Spoiler, mas não deixe de achar esses pontos assim viu?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora que sabemos tudo sobre a regiaõ R , vamos tentar achar S . Pelo método dos discos, que já calcula o volume de revolução em relação ao eixo x , temos:

Beleza, mas a nossa região não é bem uma função só rotacionada, e sim duas. Mas não se acanhe, porque se entendermos R como a região B menos a região A :

Então o volume de revolução de R nada mais vai ser do que o volume de revolução de B menos o volume de revolução de A . Pra região B usaremos então f x = 1 - x 2 e para a região A usaremos então f x = x 2 - 2 x + 1 = x - 1 2 e os limites de integração dos dois vai ser x = 0 e x = 1 porque são nesses valores que as curvas se cruzam! Podemos então finalmente montar a equação do volume:

V = ∫ 0 1 π   1 - x 2 2   d x -   ∫ 0 1 π   x - 1 4   d x

Passo 3

Agora é mão na massa, temos que calcular as integrais:

∫ 0 1 π   1 - x 2 2   d x

∫ 0 1 π   x - 1 4   d x

Na primeira, vamos abrir o quadrado e ficar com:

∫ 0 1 π   1 - x 2 2   d x = π ∫ 0 1 1 - 2 x 2 + x 4   d x

Realizando a integração:

π ∫ 0 1 1 - 2 x 2 + x 4   d x = π x - 2 x 3 3 + x 5 5 x = 0 x = 1 = π 1 - 2 3 + 1 5 = 8 π 15

Na segunda integral, se fizermos a seguinte substituição simples:

u = x - 1 →   u = 0   s e   x = 1 u = - 1   s e   x = 0

d u = d x

Vamos ter:

∫ 0 1 π   x - 1 4   d x = π ∫ - 1 0 u 4   d u

Realizando a integração:

∫ 0 1 π   x - 1 4   d x = π u 5 5 u = - 1 u = 0 = π 0 - - 1 5 = π 5 = 3 π 15

Se o volume é:

V = ∫ 0 1 π   1 - x 2 2   d x -   ∫ 0 1 π   x - 1 4   d x

Então calculamos e fechamos a questão:

V = 8 π 15 - 3 π 15

V = 5 π 15 = π 3

Resposta

  1. V = ∫ 0 1 π   1 - x 2 2   d x -   ∫ 0 1 π   x - 1 4   d x
  2. V = π 3

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