Dada a figura abaixo ache o volume do sólido gerado rotacionando a região indicada em torno da reta especificada:

  1. R 1 ao longo de AB.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??? Bora Responder Aí essa questão

Sabemos que o volume pode ser dado por:

V = ∫ a b A ( x ) d x

Onde a = 0 e b = 1

E R 1 é limitado pela curva y = x 3 → x = y 3

Assim:

A = π r 2 = π x - x i 2

Onde x i é o x que varia de 0 a 1, mas x = 1 é bem definido, de modo que:

A = π 1 - y 3 2

Bora pro próximo passo?

Passo 2

Obrigado por vir

Logo:

V = ∫ 0 1 π 1 - y 3 2 d x

Mas não tem variável x, certo? Então vamos fazer uma troca de variável.

V = ∫ a b A y d y

Temos que a = 0 e b = 1

Passo 3

Assim:

V = ∫ 0 1 π 1 - y 3 2 d y

V = π ∫ 0 1 1 - 2 y 1 3 + y 2 3 d y

V = π y - 2 * 3 4 y 4 3 + 3 5 y 5 3 0 1

V = π 1 - 6 4 + 3 5

V = π 2 20

V = π 10

Resposta

V = π 10

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .