Determine o volume do sólido limitado pelos cilindros x 2 + y 2 = 9 2 e y 2 + z 2 = 9 2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar o volume de um sólido que é limitado por dois cilindros:

x 2 + y 2 = 9 2

E

y 2 + z 2 = 9 2

Graficamente, temos:

Para isso, podemos calcular o volume pela seguinte integral dupla:

V = 2 * ∬ f x , y d x   d y

Onde essa multiplicação por 2 significa que vamos utilizar a simetria do sistema para resolver a integral, considerando apenas o eixo positivo de z .

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... como f x , y = z , isolamos z na seguinte expressão:

y 2 + z 2 = 9 2 ∴

z = 81 - y 2 = f x , y

Já para a região de integração do sólido, consideramos o outro cilindro da seguinte forma:

x 2 + y 2 = 9 2 ∴

x = ± 81 - y 2

Dessa forma, quando y varia de - 9 a 9 , então x varia da seguinte forma:

- 81 - y 2 < x < + 81 - y 2

Passo 3

Bom... substituindo as expressões e limites na integral, temos:

V = 2 * ∫ - 9 9 ∫ - 81 - y 2 81 - y 2 81 - y 2 d x   d y ∴

V = 2 * ∫ - 9 9 81 - y 2 * x 81 - y 2 - 81 - y 2   d y ∴

V = 2 * ∫ - 9 9 81 - y 2 * 2 81 - y 2 d y ∴

V = 4 * ∫ - 9 9 81 - y 2   d y ∴

V = 4 * 81 y - y 3 3 9 - 9   ∴

V = 3888

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

V = 3888

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .