Determine o volume do sólido limitado por z = 2 + 3 x 2 + 6 y 2 e pelos planos x = 0 ,   z = 0 ,   y = x 8 ,   e   2 x + 7 y = 1

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão fala de volume de um sólido! Nosso sólido é delimitado por cima pela função z :

z = 2 + 3 x 2 + 6 y 2

E embaixo pelo plano x y

z = 0

Beleza?

E no plano x y ? Ele é delimitado pelo eixo coordenado

x = 0

E pelas retas

2 x + 7 y = 1 → 7 y = 1 - 2 x → y = 1 - 2 x 7

E

  y = x 8

e agora, como resolver isso? Por onde começar? Nossa pergunta de milhões...

Vamos esboçar essa região no plano x y para poder achar nossos limites de integração e poder montar certinho nossa integral!

Belezinha até aqui?

A região que compreende as três retas é aquele triângulo deitado mais a esquerda! Essa região é limitada superiormente pela reta azul

y = 1 - 2 x 7

E inferiormente pela reta em verde

y = x 8

Então

x 8 ≤ y ≤ 1 - 2 x 7

x ? Em x temos que o limite mais à esquerda é x = 0 , nosso eixo y , como dá pra ver pelo desenho. E mais à direita? É aquele ponto de encontro!

É onde

x 8 = 1 - 2 x 7

Bora resolver?

7 x = 8 - 16 x

16 + 7 x = 8 → x = 8 23

Então nosso limite em x é

0 ≤ x ≤ 8 / 23

E nossa integral fica assim

∫ 0 8 23 ∫ x 8 1 - 2 x 7 2 + 3 x 2 + 6 y 2 d y d x

beleza?

Agora é #partiu integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é a seguinte

∫ 0 8 23 ∫ x 8 1 - 2 x 7 2 + 3 x 2 + 6 y 2 d y d x

Vamos começar resolvendo a mais de dentro (considerando x como constante):

∫ 2 + 3 x 2 + 6 y 2 d y = 2 y + 3 x 2 y + 6 y 3 3 = 2 y + 3 x 2 y + 2 y 3

E aplicando nos limites de integração em y :

2 y + 3 x 2 y + 2 y 3 x 8 1 - 2 x 7 = 2 1 - 2 x 7 + 3 x 2 1 - 2 x 7 + 2 1 - 2 x 7 3 - 2 x 8 - 3 x 2 x 8 - 2 x 8 3

= 2 7 - 4 x 7 + 3 x 2 7 - 6 x 4 7 + 2 7 3 1 - 2 x 3 - x 4 - 3 x 3 8 - x 3 256

Tranquilo?

Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

Bora substituir o resultado que guardamos na integral mais de dentro!

∫ 0 8 23 2 7 - 4 x 7 + 3 x 2 7 - 6 x 4 7 + 2 7 3 1 - 2 x 3 - x 4 - 3 x 3 8 - x 3 256 d x

A maior parte desses termos a gente vai integrar usando a regra da potência, mas aquele 1 - 2 x 3 vou usar substituição simples (para não ter que abrir o produto notável)

u = 1 - 2 x → d u = - 2 d u

∫ 1 - 2 x 3 d x = ∫ u 3 - 1 2   d u = - 1 2 u 4 4

= - 1 - 2 x 4 8

Agora integrando o restante e juntando esse resultado temos

∫ 2 7 - 4 x 7 + 3 x 2 7 - 6 x 4 7 + 2 7 3 1 - 2 x 3 - x 4 - 3 x 3 8 - x 3 256 d x

= 2 x 7 - 4 x 2 14 + 3 x 3 21 - 6 x 5 35 + 2 7 3 - 1 - 2 x 4 8 - x 2 8 - 3 x 4 32 - x 4 1024

Beleza? Nossa missão final é aplicar nos limites de integração!

Passo 4

Aplicando os limites em x temos

2 x 7 - 4 x 2 14 + 3 x 3 21 - 6 x 5 35 + 2 7 3 - 1 - 2 x 4 8 - x 2 8 - 3 x 4 32 - x 4 1024 0 8 23

No limite superior:

2 8 23 7 - 4 8 23 2 14 + 3 8 23 3 21 - 6 8 23 5 35 + 2 7 3 - 1 - 2 . 8 23 4 8 - 8 23 2 8 - 3 8 23 4 32 - 8 23 4 1024  

= 0,099 - 0,034 + 6,01 × 10 - 3 - 8,72 × 10 - 4 + 6,25 × 10 - 6 - 0,015 - 4,57 × 10 - 4 - 1,42 × 10 - 5

= 0,082

E no inferior (com sinal negativo, não esqueça):

- 2 7 3 - 1 - 2 . 0 4 8 = 2 7 3 . 8 = 7,28 × 10 - 4  

Juntando os resultados temos:

= 0,082 + 7,28 × 10 - 4 = 0,082

Ufa, terminamos galera! Vamos para a próxima?

Resposta

0,082

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .