Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

PUCRIO, Cálculo 1 - MAT1161, G3 - 2010.2, Questão 3

Determine o volume do sólido obtido pela revolução em torno do eixo- x , da região limitada pelo gráfico de f x = x 2 e g x = 2 - x 2 no intervalo x   [ - 1,1 ] .

Passo 1

Vamos começar desenhando essa região, sendo que uma parábola tem boca para cima e seu vértice na origem e a outra tem boca para baixo e vértice em ( 0,2 ) :

Eu aproveitei e já marquei o intervalo de x bem onde as parábolas se encontram, repara aqui:

f x = g x x 2 = 2 - x 2

2 x 2 = 2

x 2 = 1

x = ± 1

Legal até aí.

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Passo 2

Agora a questão é ver como faremos essa diferença de rotações. Repara que na região delimitada em relação ao eixo de rotação, que é o eixo x , a que está mais afastada é a parábola azul, ou seja, g x = 2 - x 2 . A mais próxima é a vermelha, f x = x 2 . Resumindo a brincadeira, vamos fazer a diferença da rotação da mais externa com a mais interna. Ficará assim, usando a fórmula de seções transversais:

V = - 1 1 π g x 2 d x - - 1 1 π f x 2 d x

= - 1 1 π [ 2 - x 2 2 - x 2 2 ] d x

= - 1 1 π 4 - 4 x 2 d x

= π 4 x - 4 x 3 3 [ 1 - 1

= π 4 1 - 4 1 3 3 - 4 - 1 - 4 - 1 3 3

= π 4 - 4 3 + 4 - 4 3

= π 16 3

= 16 π 3

Resposta

V = 16 π 3

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