Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região, no primeiro quadrante, limitada superiormente pela curva y = x 2 , inferiormente pelo eixo x e à direita pela reta x = 1 , em torno da reta x =   - 1 .

Passo 1

Faaaaaaala galera, tudo certo com vocês?

Bora resolver mais uma questãozinha de cálculo!!

Aqui precisamos calcular o volume de um sólido de revolução.

Ele é obtido pela rotação da região, no primeiro quadrante, limitada pelas curvas:

y = x 2 y = 0   e i x o   x x = 1

em torno da reta x = - 1 .

Puts, então dessa vez não estamos rotacionando em torno do eixo x ou y , mas em torno da reta x =   - 1 . Será que isso muda muita coisa? Ainda podemos aplicar os mesmos métodos de antes?

Então galera, muda algumas coisas sim.

Para calcular volume de sólidos de revolução, podemos usar o método das cascas, segundo ele:

V =   ∫ a b 2 π x ⋅ f x d x

Porém, essa expressão é válida quando rotacionamos em torno do eixo y . Como aqui iremos rotacionar em torno do eixo x =   - 1 , precisamos ajustar o termo x que representa a distância até o eixo de rotação. Assim:

V =   ∫ a b 2 π ⋅ x - - 1 ⋅ f x d x

V = ∫ a b 2 π ⋅ ( x + 1 ) ⋅ f x d x

Massa! Então, vamos entender melhor qual é a nossa região que será rotacionada, para depois montarmos a integral, beleza?

Passo 2

Vamos começar identificando a nossa região que será rotacionada. Ela é delimitada pelas curvas:

y = x 2 y = 0   e i x o   x x = 1

A primeira curva é uma parábola, com vértice em ( 0,0 ) . Como estamos considerando a região apenas no 1 ° quadrante, temos:

Show! Analisando as outras duas curvas, temos algo um pouco mais simples.

y = 0 é o próprio eixo x .

x = 1 é a reta vertical que passa por ( 1,0 ) .

Assim, colocando tudo em um mesmo gráfico:

Uhuuul! Encontramos a nossa região Ω que será rotacionada.

Passo 3

Bom, já que identificamos a nossa região Ω , vamos buscar montar a integral pelo método das cascas. Já vimos que:

V = ∫ a b 2 π ⋅ ( x + 1 ) ⋅ f x d x

Como, no caso de Ω , essa região está abaixo da curva f x = x 2 , no intervalo de 0   a 1 , podemos escrever que:

V Ω =   ∫ 0 1 2 π x + 1 ⋅ x 2 d x

Colocando as constantes para fora, ficamos com:

V Ω = 2 π ⋅ ∫ 0 1 x 3 + x 2 d x

Usando a regrinha de integração de polinômios:

∫ a b x n = x n + 1 n + 1 a b

Ficamos com:

V Ω = 2 π ⋅ x 4 4 + x 3 3 0 1

= 2 π ⋅ 1 4 + 1 3 = 2 π ⋅ 7 12

⇒ V Ω = 7 π 6

Resposta

7 π 6

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .