1 - Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do eixo x :

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter o volume do sólido de revolução da reta x + 2 y = 2 em torno do eixo x com x variando entre 0 e 2 .

Temos alguns métodos para obter esse volume, tem algum em mente para esse caso? 🤔

Ao rotacionarmos a figura do enunciado em torno do eixo x , podemos perceber que o solido que se forma é um cone. Assim podemos usar a fórmula do volume do cone pois, pela figura, o raio da base é 1 e a altura é 2 . Mas qual seria a graça de fazer por esse modo?

Portanto vamos usar o método dos discos.

A volume do disco é dado por

V = π r 2 h

Onde r é o raio e h é a altura.

O método dos discos consiste em calcular cada volume dos discos infinitesimais que formam o nosso sólido.

Assim perceba que r é o mesmo que f x e h é o mesmo que d x .

Entendeu? Vamos aplicar esse método!

Passo 2

Substituindo r e h em V , vemos que cada volume infinitesimal é dado por

d V = π f x 2 d x

Integrando dos dois lados, chegamos em

∫ d V = ∫ π f x 2 d x

V = ∫ π f x 2 d x

A altura do nosso solido é dado por x , então temos que integrar dentro do intervalo que nosso solido está incluído, eu seja, entre 0 e 2 como vemos na imagem do enunciado.

V = ∫ 0 2 π f x 2 d x

Mas tem mais uma coisa! Foi nos dado uma equação, não uma função de x , então temos que manipular essa equação de modo que tenhamos uma função de x .

Entendeu? 👀

Passo 3

A equação que nos deram é: x + 2 y = 2

Vamos isolar y em um lado.

y = 2 - x 2

Agora, fazendo f x = y , temos

f x = 2 - x 2

Substituindo na nossa integral...

V = ∫ 0 2 π 2 - x 2 2 d x

Vamos reescrever 2 - x 2 2 na forma polinomial e tirar π para fora, já que é uma constante

V = π ∫ 0 2 1 - x 2 2 d x

V = π ∫ 0 2 1 - x + x 2 4 d x

Integrando pelo método de integração polinomial somando 1 no expoente de x e dividindo pela soma do expoente, temos

∫ 1 - x + x 2 4 d x = 1 x - x 1 + 1 1 + 1 + x 2 + 1 4 2 + 1 = x - x 2 2 + x 3 12

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 2 1 - x + x 2 4 d x = x - x 2 2 + x 3 12 x = 0 2 = 2 - 2 2 2 + 2 3 12 - 0 - 0 2 2 + 0 3 12

∫ 0 2 1 - x + x 2 4 d x = 2 3

Substituindo em V , vamos obter

V = π ∫ 0 2 1 - x + x 2 4 d x = 2 π 3

Então vemos que o volume do solido formado pela rotação da região sombreada é 2 π 3 .

A efeito de comparação, a fórmula do volume do cone é dado por

V = π r 2 h 3

Se o raio da base r = 1 e a altura h é igual a 2 , então vamos chegar no mesmo resultado!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

V = 2 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .