Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo x , das regiões limitadas pelas retas e curvas:

f) y = s e c s e c   x   ,   y = t g   x ,   x = 0 ,   x = 1

Passo 1

Opaaa pessoal, tudo bom com vocês?

Nesse exercício, basicamente temos uma região no plano x y e vamos rotacioná-la em torno do eixo x . Após efetuar a rotação, teremos um sólido. O enunciado nos pede pra determinar o volume desse sólido, beleza?

Antes de tudo, precisaremos analisar qual a região que será rotacionada. Segundo o enunciado, ela está limitada pelas curvas:

{ y = s e c s e c   x     y = t g   x   x = 0   x = 1  

Ok! Depois de identificarmos a região precisaremos calcular, efetivamente, o volume desse sólido de revolução. Vocês lembram como podemos fazer isso?

Temos que usar algum dos nossos métodos para cálculo de sólido revolução. Um que pode ser interessante é o método dos discos, segundo ele:

V =   ∫ a b π f x 2 d x

Show de bola! Então vamos lá 😊

Passo 2

Pra começar, vamos identificar a nossa região do plano x y que será rotacionada. Como falamos no passo 1 , ela é limitada por 4 curvas:

{ y = s e c s e c   x     y = t g   x   x = 0   x = 1  

As duas primeiras curvas são funções trigonométricas, nas quais as curvas possuem o seguinte formato:

onde a curva azul é y = s e c s e c   x     e a curva vermelha é y = t g   x .

As nossas duas últimas curvas são retas verticais constantes, x = 0 é o próprio eixo y e x = 1 é uma reta vertical que passa pelo ponto ( 1,0 ) .

Assim, adicionando todas as curvas no gráfico, temos:

Prontinho, essa região do meio é a região Ω , que será rotacionada em torno do eixo x .

Passo 3

Agora vamos montar as integrais.

Antes de começarmos, é importante entender que no método dos discos, pra calcular o volume obtido pela rotação de uma região abaixo da curva f x , usamos:

V =   ∫ a b π ⋅ f x 2 d x

Assim, para calcularmos o volume obtido pela rotação de Ω por esse método, precisamos fazer uma operação entre volumes. Podemos dizer que:

V Ω = V 1 - V 2

onde:

V 1 é o volume obtido pela rotação da região abaixo de y = s e c s e c   x   no intervalo em que Ω se encontra.

V 2 é o volume obtido pela rotação da região abaixo de y = t g   x no intervalo em que Ω se encontra.

E pra que servem as retas x = 0 e x = 1 ?

É justamente pra determinar nossos limites de integração: 0 ≤ x ≤ 1 .

Pegaram a ideia?

Assim, podemos montar as nossas integrais pelo método dos discos.

Lembrando que:

V =   ∫ a b π ⋅ f x 2 d x

Temos:

V 1 =   ∫ 0 1 π ⋅ s e c s e c   x   2 d x

E:

V 2 =   ∫ 0 1 π ⋅ t g   x 2 d x

Perfeito!

Passo 4

Pra finalizar, vamos calcular as nossas integrais.

V 1 =   ∫ 0 1 π ⋅ s e c s e c   x   2 d x

Colocando π pra fora da integral:

V 1 =   π ⋅ ∫ 0 1 x   d x

Mas, lembram qual é a derivada da tangente?

t g   x ' = x  

Logo, pelo teorema fundamental do cálculo:

V 1 = π ⋅ t g   x 0 1

∴ V 1 = π ⋅ t g 1 - t g 0  

Como t g 0 = 0 :

⇒ V 1 = π ⋅ t g ( 1 )

Vamos agora para V 2 :

V 2 =   ∫ 0 1 π ⋅ t g   x 2 d x

V 2 = π ⋅ ∫ 0 1 t g 2 x d x

Tem uma relação trigonométrica bem legal que podemos usar aqui, e que vai nos poupar um trabalhinho algébrico...

Da relação fundamental da trigonometria, sabemos que:

s e n 2 x + x   = 1

Dividindo ambos os lados por x   , chegamos que:

t g 2 x + 1 = x  

∴ t g 2 x = x   - 1

Substituindo esse resultado dentro do integrando de V 2 , vem:

V 2 =   π ⋅ ∫ 0 1 x   - 1 d x

V 2 = π ⋅ ∫ 0 1 x   d x -   π ⋅ ∫ 0 1 d x

O primeiro termo da equação acima é justamente o volume V 1 , que calculamos anteriormente. Ou seja:

π ⋅ ∫ 0 1 x   d x =   π ⋅ t g ( 1 )

Já o segundo termo, vale:

π ⋅ ∫ 0 1 d x =   π ⋅ x 0 1

= π

Ou seja:

V 2 =   π ⋅ t g 1 - π

Agora é só substituir na relação que escrevemos para V Ω e correr pro abraço:

V Ω = V 1 - V 2

Então:

V Ω = π ⋅ t g 1 - π ⋅ t g 1 - π

∴ V Ω = π

Resposta

π

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42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
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