Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo x , das regiões limitadas pelas retas e curvas:

b) y = 2 √ x , y = 2 ,   x = 0

Passo 1

Faaaala galerinha, tudo bom com vocês? Bora matar mais uma questãozinha de Cálculo 2 !

Nesse exercício, basicamente temos uma região no plano x y e vamos rotacioná-la em torno do eixo x . Após efetuar a rotação, teremos um sólido. O enunciado nos pede pra determinar o volume desse sólido, beleza?

Antes de tudo, precisaremos analisar qual a região que será rotacionada. Segundo o enunciado, ela está limitada pelas curvas:

y = 2 x y = 2 x = 0

Ok! Depois de identificarmos a região precisaremos calcular, efetivamente, o volume desse sólido de revolução. Vocês lembram como podemos fazer isso?

Temos que usar algum dos nossos métodos para cálculo de sólido revolução. Um que pode ser interessante é o método dos discos, segundo ele:

V =   ∫ a b π f x 2 d x

Show de bola! Então vamos lá 😊

Passo 2

Pra começar, vamos identificar a nossa região do plano x y que será rotacionada. Como falamos no passo 1 , ela é limitada por 3 curvas:

y = 2 x y = 2 x = 0

Começando por y = 2 √ x , temos a seguinte curva:

Massa! Ela vale 0 , quando x = 0 . E, tende pro , quando x → ∞ .

Vamos agora analisar as outras duas curvas. Elas são um pouco mais simples, pois são retas de valores constantes:

x = 0

É o próprio eixo y . E:

y = 2

Que é a reta constante que passa por y = 2 . Assim, colocando tudo em um mesmo gráfico, temos:

Prontinho, a região determinada é justamente Ω , destacado na figura. Conseguiu entender?

Vamo simbora!

Passo 3

Agora que já identificamos a região, vamos calcular o volume do sólido de revolução.

Pelo método dos discos que comentamos no passo 1 , o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região abaixo da curva f ( x ) , em torno do eixo x , é:

V = ∫ a b π f x 2 d x

Mas, o problema aqui, é que a nossa região não está abaixo da curva f x = 2 x , e sim acima dela. O que podemos fazer nesse caso? Alguma ideia?

Então, sabe essa expressão “ π f x 2 d x ” que aparece dentro da integral do método dos discos? Ela representa um volume d V de um disco com raio f ( x ) e espessura d x :

d V = π ⋅ f x 2 d x

Assim, pra calcular o volume obtido pela rotação de Ω podemos entendê-lo como a subtração dos volumes de dois discos:

1 ) Volume obtido pela rotação da região representada pela união de ψ e Ω , ou seja, região abaixo da reta y = 2 .

2 ) Volume obtido pela rotação da região ψ , ou seja, região abaixo da curva f x = 2 x .

Massa!

Pra montarmos nossas integrais, falta apenas definirmos os limites de integração. Trata-se justamente do intervalo em x , que nossa região ocupa.

Pela imagem, vemos que o limite inferior ocorre em x = 0 . Mas, o limite superior ocorre na intersecção de y = 2 x e y = 2 . Assim:

2 x = 2

x = 1

∴ x = 1

Excelente! Pelo método dos discos (não esquece essa fórmula hein galera!):

V = ∫ a b π f x 2 d x

Podemos então montar a integral:

V =   ∫ 0 1 π ⋅ 2 2 d x - ∫ 0 1 π ⋅ 2 x 2 d x  

Passo 4

Já tamo acabando! Falta só calcularmos as integrais. Começando por:

∫ 0 1 π ⋅ 2 2 d x

Colocando tudo que é constante pra fora da integral, temos:

4 π ⋅ ∫ 0 1 d x

= 4 π ⋅ x 0 1

= 4 π ⋅ 1 - 0 = 4 π

Boa! A primeira integral já foi. Falta a segunda:

∫ 0 1 π ⋅ 2 x 2 d x

Colocando novamente tudo que é constante para fora da integral, e lembrando que x 1 2 = x , vem:

4 π ⋅ ∫ 0 1 x 1 2 2 d x

=   4 π ⋅ ∫ 0 1 x d x

= 4 π ⋅ x 2 2 0 1

Daí é só substituir os limites:

= 4 π ⋅ 1 2 - 0

= 2 π

Resumindo, encontramos que:

∫ 0 1 π ⋅ 2 2 d x = 4 π ∫ 0 1 π ⋅ 2 x 2 d x = 2 π

Lembrando que:

V =   ∫ 0 1 π ⋅ 2 2 d x - ∫ 0 1 π ⋅ 2 x 2 d x

Temos:

V = 4 π - 2 π

∴ V = 2 π

Uhuuul! Terminamos. Espero que vocês tenham entendido tudinho. Até a próxima gente 😊

Resposta

2 π

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .