Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo x , da região plana delimitada pelas curvas x = y 4 4 - y 2 2 e x = y 2 2 , com 0 ≤ y ≤ 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume de rotação da região entre as curvas x = y 4 4 - y 2 2 e x = y 2 2 . Mas como a gente faz isso?

Bom, existem vários métodos pra gente calcular esse volume de rotação, mas a gente tem que prestar atenção em alguns detalhes que pode facilitar nossas contas. No nosso caso, nossa região está girando em torno do eixo x e ela é composta por funções de y . Então, um método mais simples de calcular o volume, nesse caso, seria através do Método das Cascas Cilíndricas.

Nesse método, a gente considera que o volume é calculado através do produto entre a circunferência, altura e espessura de pedaços infinitesimais de volume do sólido. E a gente usa a integral para “somar” esses produtos infinitesimais. Então, teremos:

V = ∫ a b 2 π y ∙ f y   d y

Onde 2 π y representa a circunferência da casca, f ( y ) representa a altura (que no nosso caso é dada pela diferença entre as duas funções dadas) e d y sua espessura. Vamos usar os dados da questão para substituir os parâmetros da integral e obter o volume.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar dando uma olhada no gráfico da nossa região:

Como o enunciado nos diz que y tá variando de 0 a 2 , pra gente só interessa essa partezinha em amarelo. É ela que vai rotacionar em torno do eixo x .

A altura da nossa casca vai ser dada pela diferença entre as funções x = y 4 4 - y 2 2 (em verde) e x = y 2 2 (em azul). Substituindo isso na integral do volume, temos:

V = ∫ 0 2 2 π y ∙ y 2 2 - y 4 4 - y 2 2   d y

V = ∫ 0 2 2 π y ∙ y 2 2 - y 4 4 + y 2 2   d y

Simplificando dentro dos parênteses:

V = ∫ 0 2 2 π y ∙ y 2 - y 4 4   d y

V = 2 π ∫ 0 2 y 3 - y 5 4   d y

Passo 3

Agora vamos integrar em relação a y , usando a regrinha do expoente ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ):

V = 2 π y 3 + 1 3 + 1 - 1 4 y 5 + 1 5 + 1 0 2

V = 2 π y 4 4 - y 6 24 0 2

Aplicando os limites de integração:

V = 2 π 2 4 4 - 2 6 24 - 0 4 4 - 0 6 24

V = 2 π 4 - 64 24

Assim, temos nosso volume:

V = 2 π 32 2 4 = 2 π 4 3

V = 8 π 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 8 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .