Determine o volume do sólido S tal que:

a ) A base de S é um círculo de raio a , e as seções transversais perpendiculares à um eixo da base são quadrados.

Passo 1

E aí genteee, como é que vocês estão?

Nessa questão temos um sólido meio diferenciado. Basicamente, ele possui uma base circular de raio a , mas as suas seções transversais são quadradas.

Assim, o lado dessa seção quadrada que está na base, deve possuir o mesmo comprimento da altura dessa seção. Sei que é bem complicadinho de visualizar, e até de desenhar esse sólido, mas não precisa se preocupar tanto com essa parte.

O mais importante é entendermos como calcular o volume dele 😊

Para fazer isso, vamos usar o método das seções transversais, daí escrevemos que:

V = ∫ m n A x d x

Tranquilo?

Vem com a gente que vai ficar bem clarinho 😉

Passo 2

Gente, o sólido da nossa questão é algo parecido com isso daqui:

Bem esquisitinho né?

Bom, pensando em aplicarmos a nossa fórmula do método das seções transversais:

V = ∫ m n A x d x

Temos que x varia de - a até + a .

m = - a

n = + a

Além disso, o lado do quadrado da seção transversal, que depende de y (metade do lado do quadrado), é dado por:

A = ( 2 y ) 2

Porém, precisamos deixar essa expressão em função de x . Daí, podemos usar o triângulo pitagórico destacado no sólido:

x 2 + y 2 = a 2

∴ y 2 = a 2 - x 2

Logo:

A x = 4 ⋅ ( a 2 - x 2 )

Substituindo na integral, ficamos com:

V = ∫ - a a 4 ⋅ a 2 - x 2 d x

Muito bom 😊

Passo 3

Agora vamos resolver a integral.

V = ∫ - a a 4 ⋅ a 2 - x 2 d x

= 4 ⋅ a 2 x - x 3 3 - a a

= 4 ⋅ a 3 - a 3 3 - a 2 - a - - a 3 3

= 4 ⋅ 2 ⋅ 2 a 3 3

Portanto:

V = 16 a 3 3

E aí, conseguiram entender direitinho?

Até a próxima gente!!

Resposta

16 a 3 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .