Determine o volume do sólido S tal que:

b ) A base de S é a região parabólica R = { x , y ; x 2 ≤ y ≤ 1 } , e as seções transversais perpendiculares ao eixo y são triângulos equiláteros, com um lado na base.

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo beleza?

Nessa questão temos um sólido S cuja base é dada por:

R = { x , y ; x 2 ≤ y ≤ 1 }

E as secções transversais são triângulos equiláteros, com um dos lados nessa base.

Queremos calcular o volume desse sólido, beleza?!

Para fazer isso, vamos usar o método das seções transversais. Como as secções transversais foram tomadas perpendicularmente ao eixo y , escrevemos que:

V = ∫ m n A y d y

Onde y varia de 0 a 1 .

Tranquilo?

Daí, precisamos conseguir escrever a área de uma secção transversal genérica em função de y para depois substituir na integral e calcular o volume.

Vem com a gente que vai ficar bem clarinho 😉

Passo 2

A base do sólido pode ser esboçada da seguinte forma:

A seção transversal do sólido vai aumentando conforme aumenta o lado do triângulo equilátero nessa base. A relação entre o comprimento do lado do triângulo equilátero e a nossa variável y , vem justamente da equação da parábola:

y = x 2

∴ x = y

Onde x é metade do lado do triângulo da secção transversal.

A área do triângulo equilátero, em função do lado x do triângulo, é dada por:

A = ( 2 x ) ⋅ 3 2 x 2 2

⇒ A = 3 x 2

Logo:

A y = 3 y

Daí, substituindo na integral, ficamos com:

V = ∫ 0 1 3 y d y

Resolvendo essa integral, temos:

V = 3 y 2 2 0 1

= 3 2

Prontinhoo!! Terminamos, gente!

Obrigado pela atenção de vocês 😊

Resposta

3 2

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42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .