3 - Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x , da região limitada pelas curvas:

(b) y = 9 - x 2 , y = 0 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão temos que obter o volume do solido formado pela revolução em torno do eixo x da área limitada pelas curvas y = 9 - x 2 e y = 0 .

Primeiro de tudo vamos ver como é a área que vamos revolucionar e imaginar como será o objeto que vai se formar.

Esboçando as curvas no plano x y e hachurando nossa área de interesse, temos

Como será nosso objeto ao revolucionar a área em vermelho em torno do eixo x ?

Nossa área é um semicírculo e se revolucionarmos em x , vamos obter uma esfera! Consegue ver isso?

Passo 2

Portanto, nosso objeto é formado como

Podemos simplesmente aplicar a fórmula do volume da esfera, mas isso não teria graça nenhuma.

Então vamos usar o método dos discos. Esse método consiste em dividir o nosso sólido em infinitos discos perpendiculares ao eixo x de raio r e altura h .

A fórmula do volume de um disco é dada por

V = π r 2 h

No caso, cada volume infinitesimal d V tem raio r que é a distância do eixo x até a curva y = 9 - x 2 e h em um valor infinitesimal d x

Fazendo essas substituições em V , temos

d V = π 9 - x 2 2 d x

Integrando nos dois lados, vamos obter

∫ d V = ∫ π 9 - x 2 2 d x

V = ∫ π 9 - x 2 d x

Legal, não é? 😁

Passo 3

Como π é uma constante, podemos tirá-la da integral

V = π ∫ 9 - x 2 d x = π ∫ 9 d x - ∫ x 2 d x

Estamos interessados apenas no intervalo de x entre x = 3 e x = - 3 , então aplicamos esses valores como limites de integração

V = π ∫ - 3 3 9 d x - ∫ - 3 3 x 2 d x

Obtemos a integral de uma constante como a própria constante multiplicada pela variável de integração, ou seja

∫ 9 d x = 9 x

Aplicando os limites de integração

∫ - 3 3 9 d x = 9 3 - 9 - 3 = 54

Agora para a integral de x 2 aplicamos o método de integração polinomial, somando 1 no expoente de x e o dividindo pelo resultado da soma.

∫ x 2 d x = x 2 + 1 2 + 1 = x 3 3

Aplicando os limites de integração...

∫ - 3 3 x 2 d x = 3 3 3 - - 3 3 3 = 18

Substituindo esses resultados em V

V = π ∫ - 3 3 9 d x - ∫ - 3 3 x 2 d x

V = π 54 - 18

V = 36 π

Portanto, o volume do nosso solido é dado por 36 π !

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

V = 36 π

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .