Q01III) Responda às perguntas abaixo no espaço adequado no seu caderno de respostas. As soluções devem ser sucintas e a resposta final deve estar destacada do restante da solução.

  1. Seja R a região do plano x y limitada pela parábola y = x 2 e pelo gráfico de y = x . Escreva (mas não calcule!) a integral que representa o volume do sólido obtido rotacionando-se R ao redor do eixo x .

Passo 1

Pra começar, como estamos falando ao retor do eixo x , a forma mais direto ao ponto de escrevermos esse volume é usando o método dos discos:

V = ∫ a b π f x 2 d x

Agora é só modelar. Pra isso, precisamos ver quando as duas curvas se tocam, pois esses pontos vão fechar a região R e nos dar os limites de integração. Vamo que vamo então:

x 2 = x

x 4 = x

x 4 - x = 0

x x 3 - 1 = 0

Ou seja, ou x = 0 ou x 3 = 1 , logo x = 1 . Sabemos os limites de integração já. Agora precisamos só ver qual função está por cima e qual está por baixo. Pra isso, só precisamos checar o valor da função pra um ponto entre 0 e 1 . Vamos ver 0,01 por exemplo:

0,01 2 = 0,0001

0,01 = 0,1

Sendo assim, temos que, nesse intervalo:

x ≥ x 2

O volume vai ser então:

V = ∫ 0 1 π x 2 d x - ∫ 0 1 π x 2 2 d x = π ∫ 0 1 x - x 4   d x

Resposta

V = ∫ 0 1 π x 2 d x - ∫ 0 1 π x 2 2 d x = π ∫ 0 1 x - x 4   d x

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .