Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Q01III) Responda às perguntas abaixo no espaço adequado no seu caderno de respostas. As soluções devem ser sucintas e a resposta final deve estar destacada do restante da solução.

  1. Seja R a região do plano x y limitada pela parábola y = x 2 e pelo gráfico de y = x . Escreva (mas não calcule!) a integral que representa o volume do sólido obtido rotacionando-se R ao redor do eixo x .

Passo 1

Pra começar, como estamos falando ao retor do eixo x , a forma mais direto ao ponto de escrevermos esse volume é usando o método dos discos:

V = ∫ a b π f x 2 d x

Agora é só modelar. Pra isso, precisamos ver quando as duas curvas se tocam, pois esses pontos vão fechar a região R e nos dar os limites de integração. Vamo que vamo então:

x 2 = x

x 4 = x

x 4 - x = 0

x x 3 - 1 = 0

Ou seja, ou x = 0 ou x 3 = 1 , logo x = 1 . Sabemos os limites de integração já. Agora precisamos só ver qual função está por cima e qual está por baixo. Pra isso, só precisamos checar o valor da função pra um ponto entre 0 e 1 . Vamos ver 0,01 por exemplo:

0,01 2 = 0,0001

0,01 = 0,1

Sendo assim, temos que, nesse intervalo:

x ≥ x 2

O volume vai ser então:

V = ∫ 0 1 π x 2 d x - ∫ 0 1 π x 2 2 d x = π ∫ 0 1 x - x 4   d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

V = ∫ 0 1 π x 2 d x - ∫ 0 1 π x 2 2 d x = π ∫ 0 1 x - x 4   d x

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