Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

A região destacada na figura abaixo é delimitada pelas funções f e g .

Sabemos que

∫ a b g 2 x d x = 25 ∫ a b f x g x d x = 13 ∫ a b f x - g x 2 d x = 10

O volume do sólido de revolução obtido girando Ω em torno do eixo x é:

  1. 14 π .
  2. 10 π .
  3. 6 π .
  4. 8 π .

Passo 1

Vamos primeiro ver qual técnica para encontrar o volume iremos usar. Temos que a região está girando em torno do eixo x , então deve ser interessante usar o método dos discos cilíndricos.

De maneira geral, a fórmula do volume será:

V = ∫ c d π y m a i o r 2 - π y m e n o r 2 d x

c , d é o intervalo de integração. Como Ω está limitada pelas interseções a e b , então:

c , d = a , b

Da mesma forma, vemos que a curva superior é g e a inferior é f . Ou seja:

V = π ∫ a b g 2 x - f 2 x d x

Vamos tentar chegar nessa integral a partir dos valores dados.

Passo 2

Primeiramente, vamos separar a integral usando a propriedade da subtração de integrais: ∫ a b g 2 x - f 2 x d x = ∫ a b g 2 x d x - ∫ a b f 2 x d x

A integral da esquerda é bem simples, já foi dada no enunciado:

∫ a b g 2 x d x = 25

Já a integral da direita requer um pouquinho de criatividade. Veja que o enunciado diz que:

∫ a b f x - g x 2 d x = 10

Distribuindo o integrando:

f x - g x 2 = f 2 x - 2 f x g x + g 2 x

Logo:

∫ a b f x - g x 2 d x = ∫ a b f 2 x d x - 2 ∫ a b f x g x d x + ∫ a b g 2 x d x = 10

Do enunciado, tiramos os valores das duas integrais mais a direita.

∫ a b f 2 x d x - 2 ⋅ 13 + 25 = 10 ⟹ ∫ a b f 2 x d x = 11

Passo 3

Opa! Agora já temos todos os valores que precisamos. Só substituir:

V = π ∫ a b g 2 x - f 2 x d x = π 25 - 11 = 14 π

Que é exatamente a letra a !

Resposta

V = 14 π

Letra a.

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