A região destacada na figura abaixo é delimitada pelas funções f e g .

Sabemos que

∫ a b g 2 x d x = 25 ∫ a b f x g x d x = 13 ∫ a b f x - g x 2 d x = 10

O volume do sólido de revolução obtido girando Ω em torno do eixo x é:

  1. 14 π .
  2. 10 π .
  3. 6 π .
  4. 8 π .

Passo 1

Vamos primeiro ver qual técnica para encontrar o volume iremos usar. Temos que a região está girando em torno do eixo x , então deve ser interessante usar o método dos discos cilíndricos.

De maneira geral, a fórmula do volume será:

V = ∫ c d π y m a i o r 2 - π y m e n o r 2 d x

c , d é o intervalo de integração. Como Ω está limitada pelas interseções a e b , então:

c , d = a , b

Da mesma forma, vemos que a curva superior é g e a inferior é f . Ou seja:

V = π ∫ a b g 2 x - f 2 x d x

Vamos tentar chegar nessa integral a partir dos valores dados.

Passo 2

Primeiramente, vamos separar a integral usando a propriedade da subtração de integrais: ∫ a b g 2 x - f 2 x d x = ∫ a b g 2 x d x - ∫ a b f 2 x d x

A integral da esquerda é bem simples, já foi dada no enunciado:

∫ a b g 2 x d x = 25

Já a integral da direita requer um pouquinho de criatividade. Veja que o enunciado diz que:

∫ a b f x - g x 2 d x = 10

Distribuindo o integrando:

f x - g x 2 = f 2 x - 2 f x g x + g 2 x

Logo:

∫ a b f x - g x 2 d x = ∫ a b f 2 x d x - 2 ∫ a b f x g x d x + ∫ a b g 2 x d x = 10

Do enunciado, tiramos os valores das duas integrais mais a direita.

∫ a b f 2 x d x - 2 ⋅ 13 + 25 = 10 ⟹ ∫ a b f 2 x d x = 11

Passo 3

Opa! Agora já temos todos os valores que precisamos. Só substituir:

V = π ∫ a b g 2 x - f 2 x d x = π 25 - 11 = 14 π

Que é exatamente a letra a !

Resposta

V = 14 π

Letra a.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .