Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

(a) Seja

B = x , y ∈ R 2 : 2 x 2 + y 2 ≤ 1     e     y ≥ x .

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de B em torno da reta y = 2 .

(b) Calcule a área da região A formada pelos pontos x , y ∈ R 2 tais que y está entre

f x = 1 - 2 x 2     e     g x = x ,     p a r a   0 ≤ x ≤ 1 2 .

Passo 1

(a)

Vamos começar esboçando a região B .

O conjunto 2 x 2 + y 2 ≤ 1 é composto por todos os pontos x , y que estão dentro da elipse 2 x 2 + y 2 = 1 .

Vejamos onde essa elipse cruza os eixos coordenados:

c r u z a   e i x o   y :   x = 0 → y 2 = 1 → y = ± 1

c r u z a   e i x o   x : y = 0 → 2 x 2 = 1 → x = ± 1 2 ≈ ± 0,7

Então aqui está o conjunto 2 x 2 + y 2 ≤ 1 :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A outra restrição da região B é y ≥ x .

Repare que isso nos dá uma informação muito importante: x não está definida para x < 0 , portanto, na região B , devemos ter obrigatoriamente x ≥ 0 .

E aqui está o esboço da região y ≥ x :

Passo 3

B é a interseção das regiões 2 x 2 + y 2 ≤ 1 e y ≥ x :

Passo 4

Agora que conseguimos visualizar a região, podemos pensar em como montar a integral que vai nos dar o volume do sólido de revolução.

A região B é limitada por duas curvas, então vamos usar o método dos anéis circulares.

Mas pra montar as integrais precisamos descobrir onde as curvas se interceptam! Então vamos fazer isso:

2 x 2 + y 2 = 1 ,     y = x

Então temos

2 x 2 + x 2 = 1

2 x 2 + x - 1 = 0

x = - 1 ± 1 2 - 4.2 . - 1 2.2

x = - 1 ± 9 4 = - 1 ± 3 4

⇒ x = 2 4 = 1 2     o u     x = - 4 4 = - 1

Mas como x ≥ 0 , então o ponto de interseção é em x = 1 2 , o que faz sentido, olhando a figura.

Então os limites de integração na nossa integral do volume vão ser x = 0 e x = 1 2 , beleza?

Passo 5

Agora fica a questão: qual vai ser a função dentro da nossa integral?

Primeiramente, não podemos integrar 2 x 2 + y 2 = 1 né, temos que isolar o y :

2 x 2 + y 2 = 1

y 2 = 1 - 2 x 2

y = 1 - 2 x 2 ,     y ≥ 0

Passo 6

O volume V do sólido de revolução vai ser:

∫ 0 1 2 π R E 2 - π R I 2 d x ,

onde R E e R I são os raios externo e interno, respectivamente.

Estamos fazendo a revolução em torno da reta y = 2 , que fica acima da região B . Então o raio externo é 2 - x e o raio interno é 2 - 1 - 2 x 2 :

Então temos que

V = ∫ 0 1 2 π 2 - x 2 - π 2 - 1 - 2 x 2 2 d x

Pronto, finalmente montamos integral!

Agora ainda tem que calcular a bendita...

Passo 7

Antes de mais nada, vamos dar uma melhorada nesse integrando:

π 2 - x 2 - π 2 - 1 - 2 x 2 2

= π 2 - x 2 - 2 - 1 - 2 x 2 2

Desenvolvendo, isso vai dar:

π 4 - 4 x + x - 4 - 4 1 - 2 x 2 + 1 - 2 x 2

=   π 4 - 4 x + x - 5 + 4 1 - 2 x 2 + 2 x 2

=   π 4 1 - 2 x 2 - 1 - 4 x + x + 2 x 2

Então o nosso volume vai ser:

V = ∫ 0 1 2   π 4 1 - 2 x 2 - 1 - 4 x + x + 2 x 2 d x

Vamos separar isso em duas integrais, porque integrar 1 - 2 x 2 vai dar um certo trabalho, enquanto o resto sai direto:

V = 4 π ∫ 0 1 2 1 - 2 x 2 d x + π ∫ 0 1 2 - 1 - 4 x + x + 2 x 2 d x

Passo 8

Vamos começar calculando:

∫ 0 1 2 1 - 2 x 2 d x

Isso está com uma baita cara de substituição trigonométrica. Vamos fazer o seguinte:

2 x = sen ⁡ θ ⇒ 2 x 2 = sen 2 ⁡ θ

Assim:

1 - 2 x 2 = 1 - sen 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ = cos ⁡ θ

Também temos que escrever d x em função de θ :

x = sen ⁡ θ 2 ⇒ d x = cos ⁡ θ 2 d θ

Adaptando os limites de integração:

x = 0 → sen ⁡ θ = 0 → θ = 0

x = 1 2 → sen ⁡ θ 2 = 1 2 → θ = arcsen ⁡ 2 2 = π 4

Passo 9

Então a integral ficou:

∫ 0 1 2 1 - 2 x 2 d x = ∫ 0 π 4 cos ⁡ θ cos ⁡ θ 2 d θ

= 1 2 ∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ θ d θ

Lembrando que

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Vamos ter:

∫ 0 1 2 1 - 2 x 2 d x = 1 2 2 ∫ 0 π 4 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

= 1 2 2 θ + sen ⁡ 2 θ 2 0 π 4 = 1 2 2 π 4 + sen ⁡ π 2 2 - 0 - 0

= 1 2 2 π 4 + 1 2 = 1 4 2 π 2 + 1

Passo 10

A outra integral não vai dar tanto trabalho:

∫ 0 1 2 - 1 - 4 x + x + 2 x 2 d x = ∫ 0 1 2 - 1 - 4 x 1 2 + x + 2 x 2 d x

= - x - 4 2 3 x 3 2 + x 2 2 + 2 x 3 3 0 1 2 = - 1 2 - 8 3 1 2 3 + 1 4 2 + 2 1 8 3

Agora é só simplificar essas frações todas:

- 1 2 - 8 3 . 1 2 2 + 1 8 + 1 12 = - 12 24 - 4 3 2 + 3 24 + 2 24

= - 4 3 2 - 7 24

Passo 11

Show, estamos quase acabando!

Lá no começo vimos que

V = 4 π ∫ 0 1 2 1 - 2 x 2 d x + π ∫ 0 1 2 - 1 - 4 x + x + 2 x 2 d x

E depois calculamos:

∫ 0 1 2 1 - 2 x 2 d x = 1 4 2 π 2 + 1

∫ 0 1 2 - 1 - 4 x + x + 2 x 2 d x = - 4 3 2 - 7 24

Então o volume vai ser:

V = 4 π 1 4 2 π 2 + 1 + π - 4 3 2 - 7 24

⇒ V = π 2 π 2 + 1 - π 4 3 2 + 7 24

Pronto, aí está a (linda) resposta da letra (a).

Passo 12

(b)

Agora ele está pedindo a área da região entre as funções f x = 1 - 2 x 2 e g x = x , com x ∈ 0 , 1 2 .

Felizmente todo o nosso trabalho da letra (a) vai ajudar aqui. Podemos reaproveitar o esboço da região B pra ver como é essa nova região da letra (b).

Primeiramente, já sabemos onde as funções se cruzam: em x = 1 2 .

Também sabemos que para x ∈ 0 , 1 2 , a função f x que está em cima, enquanto que para x ∈ 1 2 , 1 2 , g x que está em cima:

Então a área pedida vai ser dada por:

A = ∫ 0 1 2 1 - x 2 - x d x + ∫ 1 2 1 2 x - 1 - x 2 d x

Passo 13

Pra não ficar confuso, vamos separar isso em 4 integrais:

A = ∫ 0 1 2 1 - 2 x 2 d x - ∫ 0 1 2 x d x + ∫ 1 2 1 2 x d x - ∫ 1 2 1 2 1 - 2 x 2 d x

A primeira nós já calculamos na letra (a):

∫ 0 1 2 1 - 2 x 2 d x = 1 4 2 π 2 + 1

Passo 14

A segunda integral vai ser:

- ∫ 0 1 2 x d x = - 2 3 x 3 2 0 1 2 = - 2 3 1 2 3 2 + 0

= - 2 3 1 2 3 = - 2 3 . 1 2 2 = - 1 3 2

Passo 15

Agora vamos pra terceira integral:

∫ 1 2 1 2 x d x = 2 3 x 3 2 1 2 1 2 = 2 3 1 2 3 - 2 3 1 2 3

Cuidado pra não confundir, com essa 2 :

2 3 1 2 3 - 2 3 1 2 3 = 2 3 . 1 2 2 - 2 3 . 1 2 2 = 2 3 2 - 1 3 2

Passo 16

Pra finalizar, a 4ª integral:

- ∫ 1 2 1 2 1 - 2 x 2 d x

Vamos reaproveitar a substituição trigonométrica da letra (a):

x = sen ⁡ θ 2 ⇔ θ = arcsen ⁡ 2 x

Temos que a integral indefinida é:

- ∫ 1 - 2 x 2 d x = - 1 2 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

Igualzinho a letra (a). A diferença agora está nos limites de integração:

x = 1 2 → θ = arcsen ⁡ 2 2 = π 4

x = 1 2 → θ = arcsen ⁡ 1 = π 2

Então nossa integral ficou:

- 1 2 2 ∫ π 4 π 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

Pra nos livrar desse sinal negativo, podemos inverter os limites de integração e escrever ela assim:

1 2 2 ∫ π 2 π 4 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 17

Então a 4ª integral vai dar:

1 2 2 ∫ π 2 π 4 1 + cos ⁡ 2 θ d θ = 1 2 2 θ + sen ⁡ 2 θ 2 π 2 π 4

= 1 2 2 π 4 + sen ⁡ π 2 2 - π 2 - sen ⁡ π 2 = 1 2 2 1 2 - π 4

Passo 18

Pronto, agora é só somar o resultado das 4 integrais pra obter a área:

A = ∫ 0 1 2 1 - 2 x 2 d x - ∫ 0 1 2 x d x + ∫ 1 2 1 2 x d x - ∫ 1 2 1 2 1 - 2 x 2 d x

A = 1 4 2 π 2 + 1 - 1 3 2 + 2 3 2 - 1 3 2 + 1 2 2 1 2 - π 4

O negócio já tá feio pra caramba, mas se quiser juntar os termos 1 3 2 só pra ficar um pouco esteticamente mais agradável, fica:

A = 1 4 2 π 2 + 1 - 2 3 2 + 2 3 2 + 1 2 2 1 2 - π 4

AEE até que enfim acabamos esse capeta de questão!! :D

Resposta

(a)

V = π 2 π 2 + 1 - π 4 3 2 + 7 24

(b)

A = 1 4 2 π 2 + 1 - 2 3 2 + 2 3 2 + 1 2 2 1 2 - π 4

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