Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Cálculo de Volumes através de Integrais

Seja R a região que está entre as curvas y = sen ⁡ x e y = cos ⁡ x no intervalo 0 , π 4 . Determine o volume do sólido obtido ao rotacionarmos R em torno da reta y = - 1 .

Passo 1

Vamos desenhar essa região aí, só um seno (azul) e um cosseno (vermelho):

O que faremos aqui é girar a região pintada em verde em torno desse eixo também verde que passa por y = - 1 . Basta jogar na fórmula de cálculo de volume, reparando que faremos o gráfico do seno rotacionado menos a rotação do cosseno, já que o azul está mais distante desse eixo no intervalo pedido:

V = ∫ a b π cos ⁡ ( x ) - L 2 d x - ∫ a b π sen ⁡ ( x ) - L 2 d x

∫ 0 π 4 π cos ⁡ x - ( - 1 ) 2 - sen ⁡ x - ( - 1 ) 2 d x

∫ 0 π 4 π cos ⁡ x + 1 2 - sen ⁡ x + 1 2 d x

π ∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ ( x ) + 2 cos ⁡ ( x ) + 1 - sen 2 ⁡ x - 2 sen ⁡ x - 1 d x

π ∫ 0 π 4 1 + cos ⁡ 2 x 2 + 2 cos ⁡ ( x ) - 1 - cos ⁡ 2 x 2 - 2 sen ⁡ x d x

π ∫ 0 π 4 cos ⁡ ( 2 x ) + 2 cos ⁡ ( x ) - 2 sen ⁡ x d x

π sen ⁡ 2 x 2 + 2 sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x [ π 4 0

= π sen ⁡ 2 π 4 2 + 2 sen ⁡ π 4 + 2 cos ⁡ π 4 - π sen ⁡ 2 0 2 + 2 sen ⁡ 0 + 2 cos ⁡ 0

= π 1 2 + 2 2 2 + 2 2 2 - 0 + 0 + 2 ∙ 1

= 4 2 - 3 2 π

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Resposta

4 2 - 3 2 π   u . v .

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