Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Seja R a região delimitada pelas curvas y = e - x ,   y = 1 , x = 2 .

  1. Esboce a região R .
  2. Escreva as integrais que determinam o volume do sólido obtido pela rotação da região acima ao redor da reta y = 2 pelo método das cascas cilíndricas e pelo método dos discos.
  3. Calcule o volume pedido.

Passo 1

Vamos começar esboçando a região. y = e - x é y = e x espelhado, ficando:

Apesar de parecer o contrário no gráfico, e - x nunca toca o eixo x , confie em mim!

Agora é só colocar as retas y = 1 e x = 2 . A região R é aquela bordeada por essas curvas:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora observar a região para construir as integrais do volume. Veja que a região começa na interseção entre a reta y = 1 e y = e - x , em x = 0 , sendo esse o limite de integração inferior. E termina na reta x = 2 , sendo o limite superior de integração.

Começando pelo método dos discos cilíndricos, temos:

V R = ∫ 0 2 π f m a i o r - a 2 d x - ∫ 0 2 π f m e n o r - a 2 d x

Como desejamos girar em torno da reta y = 2 , teremos a = 2 e a curva mais perto f m e n o r será y = 1 . Da mesma forma, f m a i o r = e - x :

V R = ∫ 0 2 π e - x - 2 2 d x - ∫ 0 2 π 1 - 2 2 d x

V R = π ∫ 0 2 e - x - 2 2 d x - 2

O método das cascas cilíndricas é geralmente usado para rotação em torno de uma reta vertical. Nesse caso, porém, temos uma reta horizontal y = 2 . Para usá-lo, precisamos integrar em relação a y :

V R = ∫ c d 2 π y - b f m a i o r y d y - ∫ c d 2 π y - b f m e n o r y d y

Para o limite de integração inferior, quando x = 1 , temos que y = 1 , então c = 1 . Para o superior, quando x = 2 , y = e - 2 , então d = e - 2 .

b será a a constante da reta que estamos girando, ou seja y = b = 2 e f m a i o r será a curva f m a i o r do caso anterior, mas em função de y :

e - x = y ⟹ x = - ln ⁡ y = f m a i o r y

f m e n o r será a própria reta y = 1 . Assim sendo, escrevemos:

V R = - ∫ 1 e - 2 2 π y - 2 ln ⁡ y d y - ∫ 1 e - 2 2 π y - 2 d y

Passo 3

Vamos agora resolver a integral para calcular o volume. Vamos fazer pelos discos cilíndricos que é mais fácil:

V R = π ∫ 0 2 e - x - 2 2 d x - 2

Para calcular a integral, vamos distribuir o integrando:

e - x - 2 2 = e - 2 x - 4 e - x + 4

Ficando:

∫ 0 2 e - x - 2 2 d x = ∫ 0 2 e - 2 x - 4 e - x + 4 d x = - 1 2 e - 2 x + 4 e - x + 4 x 0 2

= - 1 2 e - 4 - 1 + 4 e - 2 - 1 + 8

Logo:

V R = π 1 2 e - 4 - 1 + 4 e - 2 - 1 + 6 u . v .

Não esquecendo o u.v. que indica unidade de volume.

Se você calculasse pelas cascas cilíndricas, o resultado seria o mesmo.

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