Seja R a região limitada pelas curvas y = x e y = x 4 .

(a) Esboce R e calcule a sua área.

(b) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

O enunciado da questão nos disse que temos uma região R limitada por duas curvas dadas por y = x e y = x 4 .

Com base nessas curvas temos que desenhar e calcular a área entre essas curvas e depois disso ainda temos que calcular o volume de um solido que é gerado pela rotação de R em torno do eixo x .

E aí! Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Para o item a) vamos desenhar os as curvas no plano x y , obter a região R e calcular sua área.

E no item b) vamos aplicar um método de revolução que chamamos de método dos discos e calcular o volume gerado por essa revolução.

Ta curioso? Bora ver como vai ficar! 😁

Passo 2

Primeiro vamos desenhar a região R . Plotando as curvas y = x , que é uma reta que divide os quadrantes ímpares no meio, e y = x 4 que é uma curva muito parecida com o paraboloide y = x 2 , temos

A reta verde representa a equação y = x e a curva vermelha a equação y = x 4 .

Hachurando a região entre as curvar, vamos obter a região R !

Veja só!

Logo essa região azul é a região que procuramos.

E para calcular a área da nossa região vamos calcular a sua integral.

Lembra que a integral nos dá a área abaixo de uma curva? Então podemos ler a área da região R como a área abaixo da reta azul, menos a área abaixo da curva vermelha, correto?

∫ x - x 4 d x

E os limites de integração são os valores do intervalo de x que contem a região R .

Pelo gráfico, vemos que esse intervalo acontece entre as intersecções de y = x e y = x 4 , ou seja

x = x 4

Para essa equação ser satisfeita, x deve ser 0 ou x deve ser 1 .

Logo nosso intervalo de integração é 0 ≤ x ≤ 1

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Com essas informações podemos escrever nossa integral como

∫ 0 1 x - x 4 d x

Integrando pelo método de integração polinomial, onde somamos 1 no expoente da variável e a dividimos pelo resultado da soma no seu expoente

∫ x - x 4 d x = x 1 + 1 1 + 1 - x 4 + 1 4 + 1

∫ x - x 4 d x = x 2 2 - x 5 5

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 0 1 x - x 4 d x = 1 2 2 - 1 5 5 - 0 2 2 - 0 5 5

∫ 0 1 x - x 4 d x = 3 10

Com isso, encontramos a área da nossa região R ! Entendeu?

Agora para calcular o volume gerado pela revolução da nossa região, vamos aplicar o método dos discos.

Rotacionando uma curva em torno de um eixo, vamos obter um disco em cada sessão perpendicular a nosso eixo de rotação. Concorda?

Dessa forma cada disco de comprimento infinitesimal terá um pequeno volume, integrando a área do disco onde o raio r do disco é dado pela distância da curva até o eixo de rotação, vamos obter o volume do disco.

Ou seja, aplicamos a equação que descreve a área de um disco substituindo r pela curva de revolução.

Interessante, não é?

Passo 4

Aqui segue a mesma ideia da área da região, o volume que procuramos é o volume da revolução abaixo de y = x menos a revolução abaixo de y = x 4 .

Como a área de um círculo é π r 2 , nossa função de integração será

f r = π r 1 2 - π r 2 2

Onde r 1 é a distância y de y = x e r 2 é a distância y de y = x 4 , ou seja

f x = π x 2 - π x 4 2

Com isso, nossa integral será

∫ 0 1 π x 2 - π x 4 2 d x

Organizando um pouco mais a nossa integral, vamos ter

∫ 0 1 π x 2 - π x 8 d x

Integrando pelo mesmo método de integração polinomial, temos

∫ π x 2 - π x 8 d x = π x 2 + 1 2 + 1 - π x 8 + 1 8 + 1

∫ π x 2 - π x 8 d x = π x 3 3 - π x 9 9

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 π x 2 - π x 8 d x = π 1 3 3 - π 1 9 9 - π 0 3 3 - π 0 9 9

∫ 0 1 π x 2 - π x 8 d x = 2 π 9

Com isso, vemos que o volume da nossa região R revolucionada em torno do eixo x é de 2 π 9 !

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

a) ∫ 0 1 x - x 4 d x = 3 10

b) ∫ 0 1 π x 2 - π x 8 d x = 2 π 9

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .