Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Seja R a região limitada do plano, que é delimitada pelos gráficos das curvas y = x 3 e y = x , consideradas para valores x ≥ 0 .

a) Esboce a região R , indicando os pontos de interseção das curvas

b) Calcule o volume do sólido obtido ao girar a região R em torno da reta y = 1

Passo 1

Show! Pra começar, vou te dizer que nem precisa grilar muito com o esboço. A gente só precisa esboçar o suficiente pra poder entender a região que estamos rotacionando. Com ovamos precisar das interseções das curvas, um bom primeiro passo é fazer:

y 1 = x 3

y 2 = x

y 1 = y 2

x 3 = x

x 3 - x = 0

x x 2 - 1 = 0

Logo:

x = 0

x 2 - 1 = 0 → x = ± 1

Como o enunciado diz que ta valendo pra x ≥ 0 , temos os dois pontos me que a nossa região R se fecha:

x = 0   e   x = 1

E saca só, qualquer número ao cubo entre 0 e 1 fica menor que ele mesmo. Veja por exemplo:

0,5 > 0,5 3

0,5 > 0,125

Sendo assim, nesse intervalo todo 0 ≤ x ≤ 1 a curva y 1 vai estar sempre por baixo! Temos o suficiente pra esboçar! Vamos ter:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Passo 3

Show, agora pra rotacionar essa região em torno de y = 1 , vamos lembrar do método dos discos:

V = ∫ a b π f x 2 d x

Os limites de integração vão ser aqueles que fecham a região R mesmo, a malandragem está em definir quem é f x . Como f x representa o raioda rotação ao longo da horizontal y = 1 , perceba, por exemplo, que pra reta y 2 = x , o raio, em vermelho, tem sempre o seguinte tamanho:

E pra reta y 1 = x 3 , o raio, em vermelho, tem sempre o seguinte tamanho:

Como o raio da curva y 1 é maior, o volume da rotação dela também vai ser! Então o volume da região R vai ter que ser uma subtração de um volume maior por um volume menor! De forma que:

V = ∫ a b π f x 2 d x p a r a   y 1   - ∫ a b π f x 2 d x p a r a   y 2

Substituindo os valores que a gente achou, temos:

V = ∫ 0 1 π 1 - x 3 2 d x - ∫ 0 1 π 1 - x 2 d x

Passo 4

Agora é mão na massa mesmo! Vamos calcular esse limite. Pra começar, vamos abrir os quadrados:

V = ∫ 0 1 π 1 - x 3 2 d x - ∫ 0 1 π 1 - x 2 d x

V = ∫ 0 1 π 1 - 2 x 3 + x 6 d x - ∫ 0 1 π 1 - 2 x + x 2 d x

Juntando tudo em uma única integral:

V = ∫ 0 1 π 1 - 2 x 3 + x 6 - 1 - 2 x + x 2 d x

V = π ∫ 0 1 1 - 2 x 3 + x 6 - 1 + 2 x - x 2   d x

V = π ∫ 0 1 x 6 - 2 x 3 - x 2 + 2 x   d x

E agora, resolvendo a integral, temos:

V = π x 7 7 - 2 x 4 4 - x 3 3 + 2 x 2 2 x = 0 x = 1

V = π x 7 7 - x 4 2 - x 3 3 + x 2 1 x = 0 x = 1

Colocando no mesmo denominador

V = π 6 x 7 42 - 21 x 4 42 - 14 x 3 42 + 42 x 2 42 x = 0 x = 1

V = π 6 x 7 - 21 x 4 - 14 x 3 + 42 x 2 42 x = 0 x = 1

Olha, todos os termos tem x mesmo, e como um dos limites de integração é zero, nem precisamos esquentar a cabeça. A resposta no final das contas vai ser exatamente o que está escrito em cima, trocando todos os termos de x por 1 . Logo:

V = π 6 - 21 - 14 + 42 42 = 13 π 42

Resposta

V = 13 π 42

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