Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

1) Seja R a região plana dada pelo esboço abaixo:

Onde f 1 e f 2 são funções tais que:

  • O gráfico de f 1 é uma reta que passa pelos pontos - 1,0 e 0,2 .
  • f 2 x = A + B cos ⁡ x , onde A , B são constantes reais

Responda:

  1. Determine a expressão de f 1 e f 2
  2. Seja S o sólido de revolução obtido pela rotação da região R   em torno do eixo x . Utilizando o método que preferir, escreva o volume de S como uma integral ou uma soma de integrais.
  3. Calcule o volume de S pelo método que preferir.

Passo 1

Bora lá começar então! O gráfico nos dá todas as dicas pra achar a expressão de f 1 e f 2 . Pra começar, a função f 1 , que é uma reta, tem a seguinte expressão:

f 1 x = m x + n

Já que sabemos dois pontos em que essa função passa, basta substituirmos esses valores. Partiu:

f 1 0 = m . 0 + n = 2 → n = 2

f 1 - 1 = - m + 2 = 0 → m = 2

E logo:

f 1 x = 2 x + 2

Agora pra f 2 temos:

f 2 x = A + B cos ⁡ x

A ideia vai ser a mesma, só precisamos substituir x , f 2 x pelos pontos que sabemos que a curva passa. Nesse caso:

0,2

π 2 , 0

Vamos ter:

f 2 0 = A + B cos ⁡ 0 = 2 → A + B = 2

f 2 π 2 = A + B cos ⁡ π 2 = 0 → A = 0

→ B = 2

Concluímos então que:

f 2 x = 2 cos ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza. A questão agora quer que a gente revolucione a região em torno do eixo x e ache o volume. Tem um método esperto que faz exatamente isso. Pelo método dos anéis, temos:

V = ∫ a b π   f x 2   d x

Show, vamos adequar então essa integral a nossa realidade. Quando rotacionamos somente f 1 x , ficamos com:

V = ∫ - 1 0 π   2 x + 2 2   d x

Isso porque a reta não ta definida pra valores menores que - 1 e nem maiores que 0 . Do 0 em diante temos o cosseno! Mas olha só, ele também para num ponto: o ponto x = π 2 . Então estão ai os limites de integração do cosseno rotacionado:

V = ∫ 0 π 2 π   2 cos ⁡ x 2   d x

E como a região hachurada é exatamente o espaço abaixo de f 1 e f 2 até o eixo x , o volume da região interia rotacionada vai ser nada mais nada menos do que a soma desses dois aí em!:

V = ∫ - 1 0 π   2 x + 2 2   d x + ∫ 0 π 2 π   2 cos ⁡ x 2   d x

Passo 3

Agora é só calcular o volume. Abrindo os quadrados, temos:

V = ∫ - 1 0 π   2 x + 2 2   d x + ∫ 0 π 2 π   2 cos ⁡ x 2   d x

V = 4 π ∫ - 1 0   x 2 + 2 x + 1   d x + 4 π ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ x   d x

Como:

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Ficamos com:

V = 4 π ∫ - 1 0   x 2 + 2 x + 1   d x + 4 π ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 x 2   d x

V = 4 π ∫ - 1 0   x 2 + 2 x + 1   d x + 1 2 ∫ 0 π 2 1   d x + 1 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 x   d x

Aplicando a substituição simples na última integral::

u = 2 x → d u d x = 2 → d x = d u 2

u = π ,   s e   x = π 2 0   ; s e   x = 0

Ficamos com:

V = 4 π ∫ - 1 0   x 2 + 2 x + 1   d x + 1 2 ∫ 0 π 2 1   d x + 1 2 ∫ 0 π cos ⁡ u   d u

E agora a resolução é direta! Vamos ter:

V = 4 π x 3 3 + x 2 + x x = - 1 x = 0 + 1 2 x x = 0 x = π 2 + 1 2 sin ⁡ u u = 0 u = π

Para o primeiro termo dentro do colchete:

x 3 3 + x 2 + x x = - 1 x = 0 = 0 3 3 + 0 2 + 0 - - 1 3 3 + - 1 2 - 1 = 1 3

Para o segundo termo:

1 2 x x = 0 x = π 2 = 1 2 π 2 - 0 = π 4

E pro terceiro:

1 2 sin ⁡ u u = 0 u = π = 1 2 sin ⁡ π - sin ⁡ 0 = 0

Juntando tudo:

V = 4 π 1 3 + π 4

V = 4 π 3 + π 2

Resposta

  1. f 1 x = 2 x + 2 f 2 x = A + B cos ⁡ x
  2. V = ∫ - 1 0 π   2 x + 2 2   d x + ∫ 0 π 2 π   2 cos ⁡ x 2   d x
  3. V = 4 π 3 + π 2

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