Seja S o toro gerado pela rotação do círculo ( x - R ) 2   +   y 2   =   r 2 ao redor do eixo y. Construa as integrais que representam o volume do S, pelo método das seções transversais e pelo método das cascas cilíndricas.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar o volume do toro gerado pela rotação do círculo ( x - R ) 2   +   y 2   =   r 2 ao redor do eixo y.

Se escolhermos retângulos paralelos ao eixo x de espessura dy, podemos utilizar o método das seções transversais, nesse os retângulos são perpendiculares ao eixo de rotação, sendo o volume dado por

V = π   ∫ y i y f   r 2   d y

sendo:

r o raio do disco formado;

d y a largura do disco.

Se escolhermos retângulos paralelos ao eixo y de espessura dx, podemos utilizar o método das cascas, nesse os retângulos são paralelos ao eixo de rotação, sendo o volume dado por

V = 2 π   ∫ x i x f r   h   d x

sendo:

r o raio do cilindro formado;

h a altura do cilindro formado

d y a largura do cilindro.

Então vamos lá resolver essa integral!

Passo 2

Para o método das seções transversais, vamos escrever a equação do círculo em duas funções x(y), para isso basta isolar x na equação do círculo:

x = R ± r 2 - y 2

Então o volume será dado pela diferença entre os volumes dos discos:

V = π   ∫ - r r (   R + r 2 - y 2   ) 2 - (   R - r 2 - y 2   ) 2 d y

Então, a integral do volume fica:

V = 4 π   R ∫ - r r   r 2 - y 2 d y .

Passo 3

Para o método das cascas cilíndricas, vamos escrever a equação do círculo em duas funções y(x), para isso basta isolar y na equação do círculo:

y = ± r 2 - ( x - R ) 2

Então o volume será dado pela rotação dos retângulos de altura:

h = r 2 - ( x - R ) 2 - ( - r 2 - ( x - R ) 2 ) = 2 r 2 - ( x - R ) 2 .

Então, a integral do volume fica:

V = 2 π   ∫ R - r R + r x   h   d x

V = 4 π ∫ R - r R + r x   r 2 - ( x - R ) 2 d x .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .