Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Sejam f e g funções dadas por

f x = - x + 2   e   g x = a r c s e n x

𝑒 considere a região plana R descrita abaixo:

R : x , y ∈ R g x ≤ y ≤ f x ,   0 < - x ≤ 1 2 .

Seja S o sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo x .

a) Esboce a região plana R .

b) Escreva o volume de S utilizando o Método de Discos ou método de cascas ciníndricas.

Obs: Neste item não é necessário calcular o volume.

Passo 1

a) Para o esboço temos

g x = a r c s e n x

f x = - x + 2  

Juntando temos

No entanto, nosso x vai só de zero até 1 2 ,   o que nos dá essa região.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Aplicando o método dos discos:

Lembrese que estamos rodando em volta do eixo x, logo, nossa integral vai ser em relação a x, ok? (dx) Como nosso x varia entre 0 e 1 2 , teremos para os raios internos e externos

r e x t = f x - 0 = - x + 2

r i n t = g x - 0 = a r c s e n x

Então o volume é dado por

V = ∫ 0 1 2 π f x 2 - π g x 2 d x

V = π ∫ 0 1 2 - x + 2 2 - a r c s e n x 2 d x

Resposta

V = π ∫ 0 1 2 - x + 2 2 - a r c s e n x 2 d x

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