Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

d )   y = x 4 ; y = 1 , ao redor da reta y = 2 .

Passo 1

Olá pessoal, tudo tranquilo?

Nessa questão temos uma região no plano delimitada pelas curvas:

y = x 4 y = 2

Precisamos determinar o volume do sólido gerado ao se rotacionar essa região em torno da reta y = 2 . Além disso, devemos fazê-lo usando o método das seções transversais.

Como a rotação é em torno de uma reta paralela ao eixo x , vamos tomar esse eixo no nosso método das seções, e aí aplicamos:

V = ∫ a b A x d x

onde A ( x ) é a área da seção transversal do sólido. Já a e b estão relacionados ao intervalo que delimita a região no R 2 .

Tranquilo?

Passo 2

Bom, vamos começar esboçando a região plana que será rotacionada:

Essa região é delimitada pela parábola y = x 4 (em preto) e pela reta y = 2 (em verde).

A intersecção delas ocorre em:

x 4 = 2

x = 2 1 4

Para rotacionar essa região em torno da reta y = 2 , a área das secções transversais vale:

A x = π ⋅ 2 - x 4 2

Daí, podemos montar a integral do volume do sólido de revolução:

V = ∫ - 2 1 4 2 1 4 π ⋅ 2 - x 4 2 d x

Excelente!

Passo 3

Vamos resolver a integral do volume.

V = ∫ - 2 1 4 2 1 4 π ⋅ 2 - x 4 2 d x

= π ⋅ ∫ - 2 1 4 2 1 4 4 - 4 x 4 + x 8 d x

= π ⋅ 4 x - 4 x 5 5 + x 9 9 - 2 1 4 2 1 4

Logo:

V = π ⋅ 4 ⋅ 2 1 4 - 4 ⋅ 2 5 4 5 + 2 9 4 9 - 4 - 2 1 4 - 4 - 2 1 4 5 5 + - 2 1 4 9 9

= π ⋅ 2 4 ⋅ 2 1 4 - 4 ⋅ 2 5 4 5 + 2 9 4 9

= 2 π 45 ⋅ ( 180 ⋅ 2 1 4 - 72 ⋅ 2 1 4 + 20 ⋅ 2 1 4 )

Portanto:

V = 256 ⋅ 2 1 4 π 45

Uhuul! Ficou feinho, mas saiu 😊

Até a próxima gente!

Resposta

256 ⋅ 2 1 4 π 45

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .