07) Determine a e b de modo que f x =   x 2             s e   x < 1 a x + b             s e   x ≥ 1                 seja diferenciável.

Passo 1

Eaí gente bonita! Vamo matar mais uma questão?

Esse exercício pede pra gente determinar duas constantes a e b , de modo que a função f seja diferenciável.

A primeira coisa que devemos perceber é que f é definida em duas partes e que ambas são diferenciáveis (monômios e polinômios sempre são diferenciáveis). Isso significa que f   também será diferenciável em todos os pontos, com exceção de x = 1 , porque é onde ocorre a troca da lei de formação da função. Nesse ponto, a função pode ser diferenciável ou não. Mas nesse caso, queremos que seja!

Então, a nossa missão é determinar a e b de modo que f seja diferenciável em x = 1 .

E como fazemos isso??

Bom, a derivada de uma função em um ponto p é dada pelo seguinte limite:

lim x → p ⁡ f x - f p x - p

Então, para que f seja diferenciável em x = p , é necessário que os limites laterais abaixo sejam finitos e iguais:

lim x → p - ⁡ f x - f p x - p =   lim x → p + ⁡ f x - f p x - p

Passo 2

Hora das contas!! Vamos começar calculando o limite pela direita:

lim x → 1 + ⁡ f x - f 1 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ a x + b - a + b x - 1 = lim x → 1 + ⁡ a x - 1 x - 1 = a

Beleza, então o limite lateral à direita vale a . Daí, pra f ser diferenciável, precisamos que o limite lateral à esquerda também valha a .

lim x → 1 - ⁡ f x - f 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ x 2 - a + b x - 1

Nesse ponto a gente dá uma travada, porque não dá pra resolver esse limite só com essas informações. Precisamos então lembrar da negativa do nosso teorema de diferenciabilidade e continuidade.

Passo 3

Pensa comigo, o teorema diz que:

“Se f é diferenciável em um ponto p , então f também é contínua nesse ponto.”

Logo, a negativa desse teorema, vai dizer que:

“Se f não é contínua em um ponto p , então f não é diferenciável nesse ponto.”

Massa, usando essa negativa, percebemos que f precisa ser contínua em x = 1 para que ela pelo menos possa ser diferenciável (é apenas uma condição necessária, mas não suficiente).

Então, para ser contínua devemos ter que:

lim x → 1 - ⁡ x 2 = lim x → 1 + ⁡ a x + b

Resolvendo os limites:

1 = a ⋅ 1 + b

Opa, muito bom, descobrimos uma nova relação:

a + b = 1

Agora, voltando no nosso limite ali do passo 2:

lim x → 1 - ⁡ x 2 - a + b x - 1

Substituindo a nova relação:

lim x → 1 - ⁡ x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ x + 1 x - 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ x + 1  

= lim x → 1 - ⁡ x + 1 = 2

E como precisa ser igual ao resultado pela direita, então esse limite é igual a a , lembra?

Excelenteee!!!

Temos que:

a = 2 a + b = 1 ⇒ b = - 1

Prontinho! 😊

Para f ser diferenciável precisamos ter a = 2 e b =   - 1 .

Resposta

a = 2 ,     b = - 1

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