5. Mostre que a função f x = x - 5 não é diferenciável em x 0 = 5 . Encontre uma fórmula para f ' e esboce seu gráfico.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos que dizer em quais pontos as função não é diferenciavel. E para isso precisamos lembrar quais critérios devem ser atendidos para função ser diferenciavel.

O primeiro é: funções que não são contínuas em um certo ponto, automaticamente, não são diferenciáveis nesse ponto.

Agora, se a função for contínua, ela pode ou não ser diferenciável, precisamos usar outro critério para avaliar: ela precisa ter suas derivadas laterais iguais e diferente de ± ∞ .

f ' b - = f ' b + ≠ ± ∞

Agora vamos analisar a função!

Passo 2

No problema, nós temos uma função modular e ela pode ser escrita dessa forma:

f x = x - 5 = f x = - x - 5 ,     x - 5 < 0 x - 5 ,     x - 5 ≥ 0

Ou seja, ela possui um comportamento para valores menores que 5 e outro comportamento para valores maiores que 5 .

Sendo assim, precisamos analisar a derivada para cada comportamento e verificar se elas são iguais.

Para x ≥ 5 , teremos

f + ' 5 = lim x → 5 ⁡ x - 5 - 5 - 5 x - 5 = 1

Já para x < 5 , teremos

f - ' 5 = lim x → 5 ⁡ - x - 5 - - 5 - 5 x - 5 = - 1

Como,

f + ' 5 ≠ f - ' 5

A derivada não existe.

Passo 3

Agora que temos as derivadas para cada intervalos (maiores e menores que 5 ), é só plotarmos no gráfico as duas retas para representar o gráfico da derivada.

Fica assim:

Resposta

No texto.

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Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para todo x em seu domínio, e ímpar se f - x = - f ( x ) para cada um destes x . Demonstre cada uma das afirmativas a seguirA derivada de
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t ≤ x - t 2 Calcule f ' x .
Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe g definida em R , contínua em 0 , tal que f x = xg x para todo x .
Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .