Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

Considere f : I R → I R a função dada por:

f x = x 2 + 5 ,     x < 1   - x 2 + 3 x + 4   ,     x ≥ 1

(c) Sejam a , b   ∈ I R e considere g : I R - < I R a função dada por:

f x = x 2 + b ,     x < a - x 2 + b - 2 x + 4   ,     x ≥ a

Determine os valores de a e b para que a função g seja contínua e diferenciável.

Passo 1

Verificar condição de continuidade

Pra uma função ser contínua, sem falar matematiquês, basta que a gente consiga desenhar ela toda sem tirar o lápis do papel, beleza? Pra isso, a função não pode ter dois valores diferentes no exato ponto em que a expressão matemática dela muda. Então, vamos definir:

f x = m x = x 2 + b ,     x < a n x = - x 2 + b - 2 x + 4   ,     x ≥ a

Pra ser contínua, tem que ser verdade então:

m a = n a

Eai bora substituir onde tem x por a :

a 2 + b =   - a 2 + b - 2 a + 4

2 a 2 + b =   b - 2 a + 4

Eita, isso não me diz nada! Mas calma, segura esse resultado ai e vamos verificar a diferenciabilidade

Passo 2

Verificar condição de diferenciabilidade

Agora, se a gente quer que f x seja contínua em todos os pontos, exatamente no ponto em que dá problema, que é x = a , a inclinação da reta tangente tem que ser uma só, independente de se calculamos essa inclinação com m x ou n x . Isso é o mesmo que dizer que:

m ' a = n ' a

Logo, derivando

2 x x = a =   - 2 x + b - 2 x = a

E aplicando o ponto x = a

2 a = - 2 a + b - 2

4 a = b - 2

Passo 3

Resolver o sistema de equações

Agora sim temos como resolver o problema. Só juntar o resultado dos passos anteriores em um sistema de equações esperto:

2 a 2 + b = b - 2 a + 4 4 a = b - 2

Agora é só resolver:

2 a 2 + b =   b - 2 a + 4

2 a 2 + 4 a + 2 =   4 a 2 + 4

- 2 a 2 + 4 a - 2 =   0

a 2 - 2 a + 1 =   0

E resolvendo pra achar a , temos:

a = 2 ± - 2 2 - 4.1 . 1 2

a = 2 ± 0 2

a = 1

E se a = 1 chegamos finalmente a nossa resposta:

4 a = b - 2

4 = b - 2

b = 6

Popopopooor hoje é só pepepessoal

Resposta

(c) a = 1 b = 6

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