Seja a função f

Ela é contínua em 0? é derivável em 0?

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos saber se a função

É contínua em 0 e se é derivável em 0. Beleza?

Passo 2

Para essa função ser contínua em 0 precisamos satisfazer a condição

l i m x → 0 f ( x ) = f ( 0 )

Ou seja, precisamos que

l i m x → 0 x s i n ( 1 / x ) = 0

Mas, como s i n ( 1 / x ) é limitada, então

l i m x → 0 x s i n ( 1 / x ) = 0

Logo essa função é contínua em x = 0

Passo 3

Mas é derivável? Bem sua derivada em zero existe se o limite :

l i m x → 0 f ( x ) - f ( 0 ) x - 0

= l i m x → 0 s i n ( 1 / x )

Que não está bem definido, uma vez que 1 / x → ± ∞ quando x → 0 . E pela característica oscilatória do seno, a função não converge nos infinitos.

Logo a derivada em x = 0 não existe

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento Acima

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