Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I ,   a ∈ I e h x = f x ,   s e   x ≥ a g x ,   s e   x < a

Mostre que h é derivável em a se e somente se f a = g ( a ) e f ' a = g ' ( a ) . Construa contraexemplos removendo uma das condições de cada vez

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função definida por partes

h x = f x ,   s e   x ≥ a g x ,   s e   x < a

e pede para mostrarmos que h é derivável no ponto a se

f a = g ( a )

E

f ' a = g ' ( a )

Ou seja, a função nesse ponto deve valer o mesmo valor, assim como suas derivadas

e pediu contraexemplos

Mas espera aí! Vamos olhar essa função aqui com a = 1

h x = x 2 ,   s e   x < 1 A x + B ,   s e   x ≥ 1

a ideia aqui é analisar ela e para quais valores de A e B nos dá um h ( x ) derivável

E quaisquer outros valores das constantes, nossa função teste não será derivável

Tranquilo? Agora bora resolver!

Bora lá!

Passo 2

Nossa função

h x = x 2 ,   s e   x < 1 A x + B ,   s e   x ≥ 1

para ela ser contínua, ela precisa valer o mesmo valor pelos dois lados de 1

1 2 = A . 1 + B → A + B = 1

Agora para que ela seja derivável, as derivadas em 1 também tem que valer o mesmo valor, daí temos

2.1 = A = 2

E daqui tiramos o B

B + 2 = 1 → B = - 1

Beleza? Quaisquer um desses valores diferentes e teremos uma função não derivável

E é isso! Até a próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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