Seja f : R → R uma função derivável e seja a ∈ R fixado. Verifique as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.

  1. Se f é derivável até segunda ordem com f ' x > 0 e f ' ' x > 0   , para todo x > a , então lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa afirmação aqui

Se f é derivável até segunda ordem com f ' x > 0 e f ' ' x > 0   , para todo x > a , então lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

E agora, essa afirmação é verdadeira?

Quando temos uma função com derivada primeira e segunda positiva, isso significa necessariamente que ela explode para infinito?

Sabemos que uma função explode para infinito quando

lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

Será que uma coisa está relacionada com a outra?

Então a ideia é analisar funções em que isso falha! Assim podemos afirmar que é falsa!

Bora lá!

Passo 2

Quando a derivada primeira é positiva, sua concavidade pode ser negativa e isso significa que a função não vai explodir no infinito!

Mas se a derivada primeira é positiva (função crescente) e derivada segunda também é positiva (côncava para cima) isso sim significa que a função vai explodir no infinito!

Portanto essa afirmativa é verdadeira

E é isso! Até a próxima!

Resposta

v e r d a d e i r a

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Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .